Matemáticas aplicadas

16. Determine du/dt si:
a) u 2t 3 b) u 1/(2t 1)
17. Encuentre dx/dy si:
a) x y b) x (y 1)/y 2
18. Calcule dp/dq si:
a) p 1/(3 2q) b) p 1/q
19. Determine f(2) si f(x) 5 2x
20. Calcule g(4) si g(x) (x 1) 2
21. Encuentre F(3) si F(t) t 2 3t
22. Determine G(1) si G(u) u 2 u 3
23. Calcule h(0) si h(y) y 2 7y
24. Encuentre H(2) si H(t) 1/(t 1)
(25-32) Determine la pendiente de la tangente a las gráficas de
las funciones siguientes en los puntos indicados. Encuentre la
ecuación de la línea tangente en cada caso.
25. y 3x 2 4 en x 2
26. y x 2 x 2 en x 2
27. f(x) 1 x en x 3 28. g(x) 1
en x 2
x 1
29. y x 1
en x 1 30. f(x) x 1 en x 5
x
31. f(x) x 1
en x 2
x 1
32. g(t) 5t 2 1 en t 3
33. (Crecimiento de las ventas) El volumen de las ventas de
un disco fonográfico particular está dado como una función
del tiempo t por la fórmula
S(t) 10,000 2000t 200t 2
donde t se mide en semanas y S es el número de discos
vendidos por semana. Determine la tasa en que S cambia
cuando:
a) t 0 b) t 4 c) t 8
34. (Crecimiento de la población) Cierta población crece de
acuerdo con la fórmula
p(t) 30,000 60t 2
donde t se mide en años. Calcule la tasa de crecimiento
cuando:
a) t 2 b) t 0 c) t 5
35. (Reacción química) Durante una reacción química en la
cual una sustancia A se descompone, la masa (en gramos)
de A restante en un tiempo t está dada por m(t) 9 3t
1 4 t2 . Encuentre m(t) e interprete esta cantidad. Evalúe
m(0), m(0), m(6) y m(6).
11-4 DERIVADAS DE FUNCIONES ELEVADAS A UNA POTENCIA
Por lo que se expuso en la sección 11-3 quedó claro que encontrar derivadas de funciones
utilizando la propia definición de derivada no siempre es sencillo y, por lo
general, lleva tiempo. Esta tarea puede simplificarse en forma apreciable usando
ciertas fórmulas estándar. En esta sección, desarrollaremos fórmulas con el propósito
de encontrar las derivadas de funciones elevadas a una potencia y combinaciones
de ellas.
Empecemos regresando al ejemplo 4 de la sección 11-3. Considerando casos
especiales de los coeficientes A, B, C y D en ese ejemplo, obtenemos los siguientes
resultados.
TEOREMA 1
a) La derivada de una función constante es cero
b) Si y x, entonces dy/dx 1
c) Si y x 2 , entonces dy/dx 2x
d) Si y x 3 , entonces dy/dr 3x 2
466 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA