Matemáticas aplicadas

47. (Hipoteca de una casa) La casa de Saúl tiene un valor de
$90,000 y todavía tiene que hacer al banco 50 pagos mensuales
más de $450.00 con su hipoteca del 9%. ¿A cuánto
asciende la hipoteca de su casa (Sugerencia: El valor restante
de una hipoteca es el valor de la casa menos el valor
presente del préstamo hipotecario).
*48. (Hipoteca de una casa e inflación) Hace siete años, Juan
compró una casa en $80,000 que se revaluó 9% al año debido
a la inflación. Si Juan debe al banco 48 mensualidades
de $500 de su hipoteca al 12% anual, encuentre el
monto actual de sus derechos sobre la casa.
*49. (Préstamo para automóvil) Susana le paga al banco $300
al mes por un préstamo para automóvil, al 12% anual compuesto
mensualmente. Si el préstamo debe pagarse en 48
pagos iguales, qué proporción de su vigésimo quinto pago
corresponde a intereses (Sugerencia: Encuentre la deuda
de Susana después del vigésimo cuarto pago calculando el
valor presente de la anualidad restante).
*50. (Préstamo para automóvil) El señor Suárez compró un
automóvil por $20,000 e hizo un pago de 15% sobre su
costo. El resto lo pidió prestado en un banco, al 9% anual
compuesto mensualmente. Si el préstamo debe pagarse en
36 pagos mensuales iguales, ¿de cuánto debe ser cada pago
¿Qué proporción de su trigésimo pago es por intereses
7-4 ECUACIONES EN DIFERENCIAS
Procesos a tiempo discreto
Las sucesiones que surgen en matemáticas financieras son ejemplos de procesos a
tiempo discreto. Éstos son procesos que evolucionan con el tiempo pero tales que
las variables implicadas cambian en ciertos puntos de tiempo definidos y discretos.
Por ejemplo, el valor de una inversión que se compone mensualmente cambia al final
de cada mes y la sucesión de valores forma un proceso discreto. (Al comparar
esto con composición continua, que es un proceso a tiempo continuo en donde el valor
cambia de un instante al otro).
Iniciaremos considerando el crecimiento de una inversión con k composiciones
por año y tasa nominal de interés de R% anual. Entonces, la tasa de interés en
cada composición es (R/k)%. Denótese por A 0
la inversión inicial. Después de la
primera composición, el valor, A 1
, está dado por
A 1
A 0
10
R
0k
A 0
(1 i)A 0
i 10
R
0k
Aquí el primer término es el monto original y el segundo es el interés. Para el paso
general procedemos de manera similar. Denotamos el valor después de n composiciones
por A n
de modo que el valor después de la siguiente composición será A n1
y
A n1
A n
10
R
0k
A n
(1 i)A n
Así tenemos una sucesión de valores, A 0
, A 1
, A 2
, A 3
,..., y una ecuación, A n1
(1 i)A n
, que relaciona a cualesquiera dos valores sucesivos. Éste es un ejemplo de
una ecuación en diferencias, la cual definiremos en un momento.
Primero, notemos que no es esencial que una sucesión cuyo término n-ésimo
es T n
inicie realmente con el término denotado por T 1
. Por ejemplo, en el análisis anterior
del crecimiento de un inversión, los valores sucesivos se denotaron con A 0
, A 1
,
A 2
, A 3
,..., y tenemos una sucesión que inicia con un término en la posición cero.
En algunos casos, también puede ser conveniente incluir términos como T 1
o en
otros casos iniciar una sucesión en, por ejemplo, T 2
. En particular, con sucesiones
290 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS