Matemáticas aplicadas

En la parte b), las líneas con Z constante son paralelas a uno de los lados de
la región factible. En este caso el valor más grande de Z ocurre cuando la línea con
Z constante coincide con tal lado. Sin embargo, observe que aún es cierto que el valor
máximo de Z ocurre cuando la línea pasa por un vértice del polígono de factibilidad.
En realidad pasa por dos vértices.
Esto sugiere que en vez de usar una técnica gráfica de resolución de un problema
de programación lineal, todo lo que necesitamos hacer es calcular el valor de la
función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible. El más grande de
estos valores en los extremos dará el valor máximo de la función objetivo, y el más
pequeño de ellos dará su valor mínimo. Este método de resolución de tales problemas
es muy fácil de aplicar cuando sólo hay dos variables, si bien no tiene una ventaja
computacional real sobre el método gráfico. Para más de dos variables, ninguno de
estos métodos representa una herramienta práctica en optimización. Por fortuna,
existe un método alterno denominado método símplex; dedicaremos el resto de este
capítulo a su exposición.
EJERCICIOS 10-2
(1-8) Calcule el valor máximo de la función objetivo Z sujeta a
las restricciones dadas.
1. Z 3x 2y; x 0, y 0, x y 5
2. Z 3x 4y; x 0, y 0, 2x y 3
3. Z 3x 2y; x 0, y 0, 2x y 4,
x 2y 5
4. Z 2(x y); x 0, y 0,
6x 5y 17, 4x 9y 17
5. Z 5x y; x 0, y 0, 3x y 7,
x y 3, x 2y 5
6. Z x 3y; x 0, y 0,
2x 3y 6, 2x y 5, x 4y 6
7. Z 2x y; x 0, y 0, x y 4,
y x 3, 3x y 6
8. Z x 3y; x 0, y 0, y x 1
x y 2, 2y x 1
(9-16) Determine los valores mínimos de la función objetivo Z
sujeta a las restricciones dadas.
9. Z x y; x 0, y 0, x 3y 6,
2x y 7
10. Z x 2y; x 0, y 0, x y 5,
x 4y 8
11. Z x 2y; x 0, y 0, x y 1,
x y 2
12. Z x 3y; 0 x 3, y 0, x 2y 6,
x y 5
13. Z x 4y; 0 x 4, 0 y 4,
5 x y 7
14. Z x y; x 0, y 0, x y 4,
x 2y 10
15. Z x 2y; x 0, y 0, 2x y 7,
2y x 1,
2x y 3
16. Z x y; 1
2
y x 2, y 2x 8,
y 4x 7
17. (Mezcla de whisky) Una compañía destiladora tiene dos
grados de whisky en bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales
produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene
50% de cada uno de los grados I y II; mientras que la
marca super consta de dos terceras partes del grado I y una
tercera parte del grado II. La compañía dispone de 3000
galones del grado I y 2000 del grado II para mezcla. Cada
galón de la marca regular produce una utilidad de $5;
mientras que cada galón del super produce una utilidad de
$6. ¿Cuántos galones de cada marca debería producir la
compañía a fin de maximizar sus utilidades
18. (Mezclas) Una compañía vende dos mezclas diferentes de
nueces. La mezcla más barata contiene 80% de cacahuates
416 CAPÍTULO 10 PROGRAMACIÓN LINEAL