Matemáticas aplicadas

35. ln (yz) y z 36. xe y ye x 1
(37-40) Calcule la tasa de cambio de x con respecto a p para las
siguientes relaciones de demanda.
500
37. p 100 9x
2 38. p
x3 4
39. 2pe x 3e x/2 7p
40. 7x x ln (p 1) 2
41. (Precio y utilidad) La relación entre el precio p al cual es
vendido su producto y la utilidad P de una empresa es P
6p p 2 . Exprese esta relación como una función explícita
p f(P). Evalúe las derivadas dP/dp y dp/dP y pruebe
que son recíprocas una de la otra.
42. (Función de transformación de un producto) Una fábrica
puede hacer x miles de pares de zapatos para hombre y y
miles de pares para mujer semanalmente, donde x y y están
relacionados por
2x 3 y 3 5x 4y constante
Actualmente la fábrica está haciendo 2000 pares de zapatos
para hombre y 5000 pares para mujer semanalmente.
Calcule dy/dx para los niveles de producción actual. ¿Qué
significa esto
43. (Modelo de presa-depredador) Sean x y y los tamaños de
dos poblaciones una de las cuales es víctima de la otra. En
cualquier tiempo x y y satisfacen la relación implícita
(x ty h) 2 (y tx k) 2 a 2
donde a, h, k y t son ciertas constantes. Calcule dy/dx.
44. (Fisiología) De acuerdo a A.V. Hill la relación entre la carga
F actuando en un músculo y la velocidad V de contracción
o acortamiento del músculo está dada por
(F a)V (F 0
F)b
donde a, b, F 0
son constantes que dependen de la especie
particular y tipo de músculo. Pruebe que la velocidad V se
aproxima a cero cuando F → F 0
así que F 0
representa la
carga máxima bajo la cual el músculo se contrae. Encuentre
dV/dF y dF/dV. Pruebe que cada una de estas derivadas
es recíproca de la otra.
*45. Escribiendo y x p/q en la forma y q x p 0, mediante diferenciación
implícita pruebe que (d/dx)(x n ) nx n1 cuando
n es un número racional p/q.
14-3 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA Y ELASTICIDAD
Con cierto tipo de funciones, puede utilizarse una técnica conocida como diferenciación
logarítmica con el propósito de facilitar el cálculo de la derivada. Una situación
en que esta técnica puede aplicarse ocurre cuando la función dada consiste del
producto o cociente de varios factores, en donde cada factor puede estar elevados a
alguna potencia. Este método quizá sea mejor explicado a través de un ejemplo.
EJEMPLO 1 Calcule dy/dx si
y
Solución Podríamos derivar esta función usando las reglas del producto y el cociente.
Sin embargo, aplicamos logaritmo natural en ambos lados. Luego, usando
las propiedades de logaritmos, procedemos de la siguiente manera:
ln y ln
(x 1)x 2 2
(x2 1) 1/3
(x 1) x 2 2
(x2 1) 1/3
ln y ln (x 1) ln x 2 2 ln (x 2 1) 1/3
ln y ln (x 1) 1 2 ln (x2 2) 1 3 ln (x2 1)
SECCIÓN 14-3 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA Y ELASTICIDAD 607