Matemáticas aplicadas

Si n es un entero positivo,
a n b n (a b)(a n1 a n2 b n n3 b 2 ab n2 b n1 )
Este resultado es fácil de verificar multiplicando las dos expresiones del lado
derecho término a término. Debe observarse que el número de términos en el segundo
paréntesis de la derecha es igual a n, la potencia de a y b en el lado izquierdo.
Considere los siguientes ejemplos:
n 2: a 2 b 2 (a b)(a b)
2 términos
n 3: a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 )
3 términos
n 4:
La derivada de x n con respecto a x es nx n1 , en donde n es un ente-
TEOREMA 4
ro positivo.
a 4 b 4 (a b)(a 3 a 2 b ab 2 b 3 ) , etcétera.
4, términos, etcétera
DEMOSTRACIÓN Sea y x n . Cuando x cambia a x x, y se incrementa a y
y, en donde
y y (x x) n
La sustracción del valor de y de y y nos da
y (x x) n x n
Con objeto de simplificar esta expresión de y, usamos la identidad algebraica
que se dio antes, haciendo a x x y b x. Así pues, a b (x x) x
x, de modo que
y x[(x x) n1 (x x) n2 x (x x) n3 x 2
(x x) x n2 x n1 ]
Dividiendo ambos lados entre x y tomando el límite cuando x → 0,
d y
lím y
lím [(x x) n1 (x x) n2 x (x x) n3 x 2
dx
x→0 x
x→0
(x x) x n2 x n1 ]
Ahora cuando x → 0, cada término de los paréntesis se aproxima al límite x n1 .
Por ejemplo, el segundo término (x x) n2 x se aproxima a x n2 x x n1 cuando
x → 0. Además, hay n de tales términos que están sumados. Así, que
como se requería.
d y
x n1 x n1 x n1 x n1 x n1 nx n1
dx
n términos
SECCIÓN 11-4 DERIVADAS DE FUNCIONES ELEVADAS A UNA POTENCIA 471