Matemáticas aplicadas

☛ 35. Determine el valor
esperado para
a) la densidad de probabilidad
uniforme en el intervalo [a, b];
b) la función de densidad de
2
en el intervalo [0, q)
probabilidad f(x)
e(t/2)x2
La constante k que aparece en la función de densidad representa la vida útil media
de los focos. Por ejemplo, si la función densidad es f(x) (1/200)e x/200 , la vida
media útil sería de 200 horas. ☛ 35
Recordemos que hemos definido la distribución exponencial correspondiente
a la función de densidad f(x) (1/k)e x/k . Probamos ahora que la distribución exponencial
tiene media k. Debido a esto, el parámetro k a menudo se reemplaza
por el símbolo y la función de densidad se escribe en la forma
f(x)
1
e x/
EJEMPLO 5 Los consumidores llegan a cierta gasolinería de acuerdo con la distribución
exponencial con un promedio de 20 clientes por hora. Si el encargado deja
su puesto para fumarse rápidamente un cigarrillo en 2 minutos, encuentre la probabilidad
de que llegue un cliente mientras no está el encargado.
Solución Puesto que llegan en promedio 20 consumidores cada hora, el tiempo
promedio entre llegadas es de 2
1
0
de hora o 3 minutos. Por eso, definiendo la variable
aleatoria como el lapso hasta que el próximo consumidor llegue, X estará distribuida
exponencialmente con 3. Por tanto, la f.d.p. es
f(x)
1
e x/ 1 3 ex/3
La probabilidad de que un cliente llegue en menos de 2 minutos es
P(X 2) 2
f(x) dx 2
0
0
1 3 ex/3 dx e x/3 2 0
1 e 2/3 0.49
Así el encargado tiene 51% de posibilidades de poder fumar sin que llegue ningún
consumidor.
Concluimos esta sección después de haber descrito brevemente una de las
distribuciones más empleadas: la distribución normal. La f.d.p. en este caso está
dada por
1
f(x) e (x
2 )2 /2 2
para q x q
Respuesta a) 1 2
(a b)
b) 2/
en donde denota la media de la variable aleatoria normal. La gráfica de f(x) es la
bien conocida curva en forma de campana que es simétrica con respecto a la línea
x ; como se observa en la figura 28.
El parámetro (sigma) que aparece en la función densidad de la variable aleatoria
normal se denomina desviación estándar. Representa una medida del ancho de
710 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA