Matemáticas aplicadas

Otra vez, es claro que f(x) está cada vez más cerca de 5 cuando x se aproxima
a 1 por arriba.
En consecuencia, cuando x se aproxima a 1 por abajo o por arriba, f(x)
2x 3 se acerca a 5. Decimos que el límite (o valor límite) de f(x) cuando x tiende
a 1 es igual a 5. Esto se denota así:
lím (2x 3) 5
x→1
Damos ahora la definición formal de límite.
☛ 5. Por el cálculo de unos cuantos
valores, como en las tablas 2 y
3, evalúe los límites.
a) lím (2x 3) b) lím 2x 2
x→3
x→1
x 1
c) lím
x→1 x 1
DEFINICIÓN Sea f(x) una función que está definida para todos los valores de x
cerca de c, con la excepción posible de c mismo. Se dice que L es el límite de f(x)
cuando x tiende a c, si la diferencia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como
se desee con sólo restringir a x a estar lo suficientemente cerca de c. En símbolos,
escribimos
lím f(x) L o bien f(x) → L cuando x → c
x→c
En nuestro ejemplo anterior, f(x) 2x 3, c 1 y L 5. Podemos hacer que el
valor de la función 2x 3 esté tan cercano a 5 como se desee eligiendo x lo suficientemente
cercano a 1. ☛ 5
En este ejemplo, el valor límite de la función f(x) 2x 3 cuando x → 1
puede obtenerse con sólo sustituir x 1 en la fórmula 2x 3 que define la función.
La pregunta que surge es si los límites siempre pueden encontrarse sustituyendo el
valor de x en la expresión dada. La respuesta a esta pregunta es: algunas veces, pero
no siempre. El análisis de la velocidad instantánea de la página 450 ya ilustró este
punto. En términos de límites, la velocidad instantánea se definió como
Velocidad instantánea lím
s
t→0 t
y si tratamos de sustituir de forma directa t 0, obtenemos 0/0.
El ejemplo 1 presenta otro caso en que la sustitución directa no funciona.
EJEMPLO 1 Si f(x) (x 2 9)/(x 3), evalúe lím f(x)
x→3
Solución Si sustituimos x 3 en f(x), obtenemos 0 ,
0
y concluimos que f(x) no está
definida en x 3. Sin embargo, lím f(x) existe, dado que podemos escribir
x→3
f(x) x 2
9
(x 3)(x
3)
x 3
x 3
x 3
Respuesta a) 9 b) 2 c) 0
La eliminación del factor x 3 es válida siempre que x 3, y, por supuesto, no es
válida si x 3. Es fácil advertir que cuando x tiende a 3, la función x 3 está cada
vez más cerca del valor 6. (Facilmente se puede convencer de esto calculando
algunos valores como en las tablas 2 y 3). En consecuencia,
452 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA