Matemáticas aplicadas

una función logarítmica, podemos elegir g(x) 1. En el siguiente ejemplo se
ilustran estos principios.
EJEMPLO 2 Evalúe x 2 ln x dx(x 0)
Solución Elegimos f(x) ln x y g(x) x 2 . Luego, f′(x) 1/x y G(x) 1 3 x3 . Sustituyendo
en la fórmula de integración por partes, obtenemos
f(x)g(x) dx f(x)G(x) f′(x)G(x) dx
1 1 1
ln x x 2 dx ln x x 3 3 x 3 dx
3
x
☛ 15. Utilice integración por
partes para encontrar
x 3 ln x dx
En consecuencia,
x 2 ln x dx 1 3 x3 ln x 1 3 x2 dx 1 3 x3 ln x 1 9 x3 C ☛ 15
EJEMPLO 3 Calcule ln (2x 1) dx
Solución En este caso, podemos expresar el integrando como un producto escribiendo
f(x) ln (2x 1) y g(x) 1. Se sigue que
1
2
f′(x) 2 y G(x) x
2x 1 2x 1
Integrando por partes resulta
f(x)g(x) dx f(x)G(x) f′(x)G(x) dx
o bien,
ln (2x 1) dx ln (2x 1) x
x ln (2x 1)
2
2x 1
2x
2x 1
dx
x dx
1
dx por división larga*
2x 1
ln ⏐2x 1⏐
x ln (2x 1) x
C
2
x ln (2x 1) 1
(x 1 )
2
ln (2x 1) x C
Respuesta l n x 1
2x2
4 x 2 C
*De manera alterna, puede sustituir n 2x 1
642 CAPÍTULO 15 INTEGRACIÓN