Matemáticas aplicadas

☛ 12. Una forma alterna para
determinar y′′ es utilizar dos veces
la diferenciación implícita. En el
ejemplo 6, ya obtuvimos que x 2
y 2 y′ 1 y ′. Escriba el resultado
de diferenciar con respecto a x esto
otra vez. De ahí calcular y′′.
Respuesta
o y″
2x (2yy′ y′ y 2 y″)
0 y″
2[x y(y′) 2 ]
1 y
2
El resultado final es el mismo que
antes.
En esta etapa, observamos que la expresión para la segunda derivada aún incluye a
la primera derivada. De aquí que, para completar la solución, debemos sustituir
dy/dx (x 2 1)/(1 y 2 ):
d 2 y
dx
2
2x(1 y 2 ) 2y(x 2 1) [2y (dy/dx)]
(1 y 2 ) 2
2x(1 y 2 ) 2y(x 2 1)[(x 2 1)/(1 y 2 )]
(1 y 2 ) 2
2x(1 y 2 ) 2 2y(x 2 1) 2
(1 y 2 ) 3
En el último paso, multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por
1 y 2 ☛ 12
EJERCICIOS 14-2
(1-14) Calcule en cada caso dy/dx
1. x 2 y 2 2y 15
2. x y 1
3. x 3 y 3 a 3 (a es constante)
4. x 2 xy y 2 3
5. (y x)(y 2x) 12 0
6. x 4 y 4 2x 2 y 2 3
7. xy 2 yx 2 6
8. x 2 y 2 x 2 y 2 3
9. x 5 y 5 5xy
x 2
y 2
10. 1 (a; b son constantes)
a
2 b
2
11. xy e y 1 12. ln 6
13. xy ln (xy) 1 14. x 2 y 2 4e xy
15. Encuentre dx/dt si 3x 2 5t 2 15
16. Encuentre du/dy si u 2 y 2 u y 1
17. Encuentre dx/dy si x 3 y 3 xy
18. Encuentre dt/dx si x 3 t 3 x 3 t 3 9
(19-22) Determine la ecuación de la tangente a las curvas siguientes
en los puntos dados.
x
y
y
x
19. x 3 y 3 3xy 3; (1, 2)
20. x 2 y 2 2x y 15; (3, 1)
2y x
21. 1 en (2, 1)
x y
22. (x y)(x 2y) 4 en (2, 1)
(23-26) Encuentre los puntos en los que cada curva tiene:
a) Una tangente horizontal.
b) Una tangente vertical.
23. (x 1) 2 (y 2) 2 9
24. 9x 2 4y 2 36
25. x 2 y 2 xy 12
26. x 2 3y 2 2xy 48
27. Calcule d 2 y/dx 2 si x 2 y 2 4xy
28. Determine d 2 u/dt 2 cuando u 1 y t 1 si u 5 t 5
5ut 5
29. Encuentre d 2 x/dy 2 si x 2 y y 1 cuando x 3 y 3
3xy 3
30. Encuentre d 2 y/dx 2 si (x 2)(y 3) 7
31. Encuentre d 2 x/dy 2 si x y ln (xy) 2
32. Encuentre d 2 y/dx 2 si x 2 y 2 e 3y 4
(33-36) Determine dy para las relaciones implícitas siguientes.
33. xy y 2 3 34. y 2 z 2 4yz 1
606 CAPÍTULO 14 MÁS SOBRE DERIVADAS