Matemáticas aplicadas

11-2 LÍMITES
En el ejemplo 6 de la sección 11-1, estudiamos las velocidades promedio de un móvil
que cae durante varios intervalos de tiempo diferentes. Sin embargo, en muchos
ejemplos tanto de la ciencia como de la vida diaria, la velocidad promedio de un
móvil no da la información de mayor importancia. Por ejemplo, si una persona que
viaja en un automóvil choca contra una pared de concreto, no es la velocidad promedio
sino la velocidad en el instante de colisión la que determina si la persona sobrevivirá
al accidente.
¿Qué entendemos por la velocidad de un móvil en cierto instante (o velocidad
instantánea, como se denomina regularmente) La mayoría de la gente aceptaría
que en una idea como la de velocidad instantánea (es precisamente la cantidad que
el velocímetro del automóvil mide) pero la definición de velocidad instantánea presenta
algunas dificultades. La velocidad se define como la distancia recorrida en
cierto intervalo dividida entre su duración. Pero si nos interesa la velocidad en cierto
instante particular, deberíamos considerar un intervalo de duración cero. Sin embargo,
la distancia recorrida durante tal intervalo sería cero, y obtendríamos: Velocidad
Distancia Tiempo 0 0, un valor sin significado.
Con la finalidad de definir la velocidad instantánea de un móvil en cierto instante
t, procederemos de la siguiente manera. Durante cualquier intervalo con una
duración entre t y t t, se recorre un incremento en la distancia s. La velocidad
promedio es s/t. Imaginemos ahora que el incremento t se hace cada vez más
pequeño, de modo que el intervalo correspondiente es muy pequeño. Así, es razonable
suponer que la velocidad promedio s/t sobre tal intervalo muy pequeño
estará muy cerca de la velocidad instantánea en el instante t. Más aún, cuanto más
corto sea el intervalo t, mejor aproximará la velocidad promedio a la velocidad instantánea.
De hecho, podemos imaginar que a t se le permite hacerse arbitrariamente
cercano a cero, de modo que la velocidad promedio s/t puede hacerse cada
vez más parecida a la velocidad instantánea.
En el ejemplo 6 de la sección 11-1, vimos que la velocidad promedio durante
el intervalo de t a t t, de una particula que cae bajo la acción de la gravedad está
dada por
s
32t 16t
t
Haciendo t 3, obtenemos la velocidad promedio durante un intervalo de duración
t después de 3 segundos de caída.
s
96 16t
t
Algunos valores de esta velocidad aparecen en la tabla 1 para diferentes valores del
incremento t. Por ejemplo, la velocidad promedio entre 3 y 3.1 segundos se obtiene
haciendo t 0.1: s/t 96 16(0.1) 96 1.6 97.6 pies/segundo.
450 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA