Matemáticas aplicadas

☛ 4. Una compañía tiene una
función exacta de costos dada
por C(x) 25 11x x 2
El nivel de producción actual es
x 3. Encuentre un modelo lineal
de costo que aproxime la función
exacta de costo cuando x es
cercana a 3.
Respuesta
C(x) C(3) C ′(3)(x 3)
34 5x
☛ 5. Si x se midió con una error
porcentual del 2%, ¿cuál es el
porcentaje de error en y si
a) y x 2 b) y x
aproximarla por un modelo lineal y mx b para ciertas constantes m y b, a condición
de que el rango de variación de x se restrinja lo suficiente. Modelos lineales
de esta clase se emplean con frecuencia en economía y en otras áreas como punto de
partida en el análisis de fenómenos complejos. ☛ 4
Errores
Las diferenciales se utilizan en la estimación de errores en las mediciones de cantidades.
Sea x una variable cuyo valor se mide o estima con cierto error posible y sea
y f(x) alguna otra variable que se calcula a partir del valor medido de x. Si el valor
de x que se utiliza al calcular y es erróneo, entonces, por supuesto el valor calculado
de y también será incorrecto.
Sea x el valor exacto de la variable medida y x dx el valor medido. Entonces,
dx es ahora el error en esta variable. El valor exacto de la variable calculada es
y f(x), pero el valor en realidad calculado es f(x dx). Así que el error en y es igual
a f(x dx) f(x). Si dx es pequeña, que puede por lo regular presumirse que es el
caso, podemos aproximar el error en y mediante la diferencial dy. En consecuencia,
llegamos al resultado de que el error en y está dado en forma aproximada por dy
f(x) dx.
La razón dx/x se denomina el error relativo en x. En forma análoga, el error
relativo en y es dy/y. Si el error relativo se multiplica por 100, obtenemos lo que se
conoce como error porcentual de la variable correspondiente. A menudo el signo
se ignora al establecer el error porcentual, de modo que podemos hablar de un error
porcentual del 2% con lo que entenderemos un error de 2%. ☛ 5
EJEMPLO 5 (Error en utilidades estimadas) Un gerente de ventas estima que su
equipo venderá 10,000 unidades durante el próximo mes. Él cree que su estimación
es precisa dentro de un error porcentual del 3%. Si la función de utilidad es
P(x) x (4 10 5 )x 2
(dólares por mes)
(en donde x número de unidades vendidas por mes), calcule el error porcentual
máximo en la utilidad estimada.
Solución Si x 10,000, la utilidad será
P 10,000 (4 10 5 )(10,000) 2 6000
El error porcentual máximo en el valor estimado de x es del 3%, de modo que el
error máximo dx está dado por
dx 3% de 10,000 1
3
00
(10,000) 300
El error correspondiente en la utilidad está dado aproximadamente por
Respuesta a) 4% 1%
dP P(x) dx
dP (1 8 10 5 x) dx
dP [1 8 10 5 (10,000)](300)
dP 0.2(300) 60
598 CAPÍTULO 14 MÁS SOBRE DERIVADAS