Matemáticas aplicadas

La ecuación (1) podría pensarse también como una definición de x como una
función implícita de p. Resolviendo la ecuación (1) [o (2)] para x en términos de p,
obtenemos
x 4 2 3 p (3)
La ecuación (3) expresa la demanda x como una función del precio p. Aquí p se considera
como la variable independiente y x como la variable dependiente. La gráfica
de la ecuación (3) aparece en la figura 30.
x
6
4
x 4 2 3 p
2
0 2 4 6
p
FIGURA 30
Así que, la relación dada en la ecuación (1) no define una sino dos funciones
implícitas:
p f (x) 6 3 2 x
si p se considera una función de x
y también
x g(p) 4 2 3 p
si x se considera una función de p
Las dos funciones de f y g, con
f (x) 6 3 2 x y g(p) 4 2 3 p
se denominan funciones inversas entre sí.
En general, sea y f (x) alguna función dada. La ecuación y f (x) 0
representa una relación implícita entre x y y. Si consideramos a x como la variable
independiente, podemos resolver esta relación para y, obteniendo nuestra función
original, y f (x). Por otra parte, puede ser conveniente considerar a y como la variable
independiente y resolver para x en términos de y. No siempre se puede hacer
esto, pero en caso afirmativo, la solución se escribe como x f 1 (y) y f 1 se conoce
como la función inversa de f.
Notas 1. f 1 (y) no debe confundirse con la potencia negativa
1
[f (y)] 1 f (y)
2. Si efectuamos la composición de f y su función inversa, encontramos que
(f 1 ° f )(x) x y (f ° f 1 )(y) y
En otras palabras, la composición de f y f 1 da la función identidad, esto es, la función
que deja la variable sin cambio.
SECCIÓN 5-5 RELACIONES IMPLÍCITAS Y FUNCIONES INVERSAS 211