Matemáticas aplicadas

Para determinar du/dx escribimos u u 1
/ 1
en donde u 1
x 1 y 1
x 1. Entonces,
por medio de la regla del cociente
☛ 8. Resuelva el ejemplo 4
utilizando la regla del cociente
o la regla del producto.
du
1
u′ 1
u 1
′ (x 1) 1 (x 1) 1 2
1
dx
2 (x 1)
2
(x 1)
2
1
Así, finalmente,
dy
2
3
x 1
2 (x 1)
6 2
☛ 8
dx x 1 (x1)
2 (x 1)
4
EJEMPLO 5 (Utilidad marginal) Un fabricante de calzado puede utilizar su planta
para producir zapatos para dama o caballero. Si él fabrica x (en miles de pares)
zapatos para caballero y y (en miles de pares) zapatos para dama a la semana, entonces,
x y y están relacionados por la ecuación
2x 2 y 2 25
(Ésta es la ecuación de transformación del producto; véase sección 5-3). Si la utilidad
es de $10 por cada par de zapatos, calcule la utilidad marginal con respecto a x
si x 2.
Solución La utilidad semanal P en miles de dólares está dada por
P 10x 10y
dado que cada mil pares de zapatos se traducen en diez mil dólares de utilidad, así
(x y) miles de pares darán 10(x y) miles de dólares de utilidad. Pero
o bien,
y 2 25 2x 2
y 25 2x
2
Por consiguiente, podemos expresar P sólo en términos de x como
P 10x 1025 2x
2
La utilidad marginal con respecto a x no es otra cosa que la derivada dP/dx. Mide
el incremento en la utilidad por unidad de incremento en x cuando x, la producción
de calzado para caballeros, sufre un pequeño incremento. Esto es,
d P d
Respuesta El primer paso es:
[10x 10(25 2x 2 ) 1/2 ]
dx
d x
Regla del cociente:
Con el objetivo de derivar el segundo término, debemos aplicar la regla de la cadena
con interior (25 2x 2 )
d y
dx
(x 1) 3 3(x 1) 2 (x 1) 3 3(x 1)
2
d
(25 2x 2 ) 1/2 1
d
2
x
(25 2x 2 ) 1/2 d
[(x 1) 3 ] 2 (25 2x 2 )
d x
Regla del producto:
1 2 (25 2x 2 ) 1/2 (4x)
d y
(x 1) 3 3(x 1) 2
dx
(x 1) 3 [3(x 1) 4 ]
2x(25 2x 2 ) 1/2
SECCIÓN 12-2 LA REGLA DE LA CADENA 507