Matemáticas aplicadas

Solución Elijamos f(x) x y g(x) e 2x , de modo que la integral dada tiene la forma
∫ f(x)g(x) dx. Se sigue que f′(x) 1 y G(x), la integral de g(x), está dada por
G(x) 1 2 e2x C 1
, en donde C 1
es una constante de integración. Sustituyendo estas
expresiones en la fórmula de integración por partes,
f(x)g(x) dx f(x)G(x) f′(x)G(x) dx
xe 2x dx x( 1 2 e2x C 1
) (1)( 1 2 e2x C 1
) dx
1 2 xe2x C 1
x 1 2 (e2x 2C 1
) dx
1 2 xe2x C 1
x 1 4 e2x C 1
x C
1 4
(2x 1)e2x C
en donde otra vez C es una constante de integración.
La integral de este ejemplo también pudo encontrarse usando la fórmula 69
del apéndice II. El lector deberá verificar que la respuesta obtenida sea la misma que
la del ejemplo 1.
☛ 14. Utilice integración por
partes para encontrar
xe 3x dx
Observación Tiene que advertirse que la primera constante de integración C 1
en el ejemplo anterior, que surge integrar g(x) para obtener G(x), se cancela en la
respuesta final. Esto siempre sucede al integrar por partes. Por consiguiente, en
la práctica nunca debemos preocuparnos por incluir una constante de integración
en G(x), sino simplemente en tomar G(x) como cualquier antiderivada particular de
g(x). ☛ 14
Al usar este método, es importante realizar la elección correcta de f(x) y g(x)
al expresar el integrando original como un producto. De otra manera, la integral de
f′(x)G(x) puede que no resulte más fácil de evaluar que la integral de f(x)g(x). Por
ejemplo, si cambiamos las elecciones en el ejemplo 1, haciendo f(x) e 2x y g(x)
x, entonces, f′(x) 2e 2x y G(x) 1 2 x2 , de modo que la fórmula de integración por
partes se convierte en
e 2x x dx e 2x 1 2 x2 2e 2x 1 2 x2 dx
Esta ecuación es muy correcta, pero no es de mucha utilidad, dado que el integrando
de la derecha es más complicado que nuestra integral original.
Un criterio evidente al elegir f y g es que debemos ser capaces de integrar g(x)
para determinar G(x). Por lo regular, elegiríamos g(x) en tal forma que su antiderivada
sea una función bastante simple. Los siguientes principios serán de utilidad al
decidir sobre la elección de f y g.
Respuesta
1 3 xe3x 1 3
e3x dx
1 3 xe3x 1 9 e3x C
1. Si el integrando es el producto de un polinomio en x y una función exponencial,
a menudo es útil elegir f(x) como el polinomio dado. El ejemplo anterior ilustra
este tipo de elección.
2. Si el integrando contiene una función logarítmica como factor, con frecuencia
conviene elegir esta función como f(x). Si el integrando consta por completo de
SECCIÓN 15-4 INTEGRACIÓN POR PARTES 641