Matemáticas aplicadas

Solución Utilizando la proposición (2) del teorema 1, la desigualdad dada implica
que
2 3x 7 o bien 2 3x 7
Considerando la primera desigualdad, tenemos que
2 3x 7
Restando 2 a ambos lados y dividiendo entre 3 (y cambiando el sentido de la desigualdad):
x 5 3
De manera similar, resolviendo la segunda desigualdad,
Así, ⏐2 3x⏐ 7 es equivalente a
x 3
x 5 3 o bien x 3
Por tanto, la solución consta de todos los números reales que no están en el intervalo
cerrado [ 5 , 3]. (Véase la figura 19).
3
)
5/3
0
(
3
FIGURA 19
EJEMPLO 6 Resuelva ⏐2x 3⏐ 5 0 para x.
Solución La desigualdad dada se puede reescribir como
☛ 19. Resuelva las desigualdades.
a) ⏐1 x⏐ 4
b) ⏐7 4x⏐ 3
c) ⏐x 1⏐ ⏐x 1⏐ 0
⏐2x 3⏐ 5
Pero ⏐2x 3⏐ nunca puede ser negativo, de modo que no existen valores de x para
los cuales sea verdadera la desigualdad dada. Así no existe solución. ☛ 19
EJEMPLO 7 Resuelva la desigualdad ⏐3x 5⏐ x 1
Solución Si (x 1) 0, allí claramente no habría solución, ya que el valor absoluto
del lado izquierdo no puede ser menor que un número negativo. Así el conjunto
solución está restringido de inmediato a x 1.
Si x 1 0, podemos utilizar el teorema 1 para expresar la desigualdad dada
en la forma
(x 1) 3x 5 (x 1)
Respuesta a) 3 x 5
b) x 1 o x 5 2
c) no hay solución
La mitad izquierda de esta desigualdad doble, (x 1) 3x 5, conduce a x 1.
La mitad derecha, 3x 5 x 1, lleva a x 3. Deben satisfacerse las tres condiciones,
x 1, x 3 y x 1. Así, el conjunto solución es 1 x 3 o el intervalo
cerrado [1, 3].
Concluimos esta sección estableciendo dos propiedades básicas del valor absoluto.
Si a y b son dos números reales, entonces
SECCIÓN 3-4 VALORES ABSOLUTOS 115