Matemáticas aplicadas

☛ 1. Si f(x, y) ln (x y)
x y
calcule
a) f(3, 1) b) f(1, 2)
c) f(2, 3)
Proporcione el dominio de f utilizando
la notación de conjuntos.
Solución El valor de una función de dos variables se obtiene simplemente sustituyendo
los valores de x y y en la expresión de f(x, y):
f(1, 2) 2(1) 2 4
En este caso, el valor de f es un número real bien definido para todos los valores
reales de x y y, de modo que el dominio es el conjunto de todas las parejas (x, y) de
números reales.
Respuesta a) 1
4
ln 2 b) 0
c) No esta definida
dominio
{(x, y)⏐x – y 0, x y 0}
☛ 2. Proporcione los dominios
de las siguientes funciones y represéntelos
de manera gráfica:
a) f(x, y) x 2 y 2 1
b) f(x, y) ln( x y)
ln
y
Respuesta a) {(x, y)⏐x 2 y 2 1}
b) {(x, y)⏐x y 0, y 0,
y 1}
El dominio D de una función de dos variables puede visualizarse como un
subconjunto de puntos del plano xy. En el ejemplo 2 todas las parejas de números
reales (x, y) pertenecen al dominio, de modo que desde el punto de vista geométrico,
podemos decir que el dominio consta del plano xy completo. El rango de una
función de dos variables es un subconjunto de los números reales, al igual que en el
caso de una función de una variable.
EJEMPLO 3 Dada f(x, y) 4 x 2 y 2 , calcule f(0, 2), f(1, 1) y f(1, 2). Determine
el dominio de f y represéntelo gráficamente.
Solución Sustituyendo los valores dados de x y y, obtenemos.
f(0, 2) 4 0 2 2 2 0 0
f(1 1) 4 1 2 (1) 2 2
f(1, 2) 4 1 2 2 2 1 (no definida)
a)
y
La pareja (1, 2), por tanto, no pertenece al dominio de f. ☛ 1
Para que f(x, y) sea un número real bien definido, la cantidad dentro del signo
de radical no debe ser negativa. Así que
x
4 x 2 y 2 0
x 2 y 2 4
b) y
En consecuencia, el dominio de f consta de todos aquellos puntos (x, y) tales que
x 2 y 2 4.
En términos geométricos, x 2 y 2 4 es la ecuación de un círculo centrado
en el origen con radio 2 y la desigualdad x 2 y 2 4 es válida en puntos dentro y
sobre este círculo. Estos puntos forman el dominio D. (Véase la figura 1). El punto
(1, 2) está afuera de círculo, lo cual está de acuerdo con el hecho de que f(1, 2) no
existe. ☛ 2
x
EJEMPLO 4 (Función de costo) Una empresa elabora dos productos, A y B. El
costo de los materiales y de la mano de obra es de $4 por cada unidad del producto
A y de $7 por cada unidad de B. Los costos fijos son de $1500 por semana. Exprese
el costo semanal C en términos de las unidades de A y B producidas cada semana.
Solución Si x unidades del producto A y y unidades del producto B se elaboran cada
semana, entonces los costos de mano de obra y materiales para los dos tipos de
SECCIÓN 17-1 FUNCIONES Y DOMINIOS 721