Matemáticas aplicadas

42. (Función de costo de la electricidad) Una compañía de
luz fija una tarifa de 10¢ por unidad de electricidad para las
primeras 50 unidades utilizadas por un usuario doméstico
cada mes y de 3¢ por unidad en el caso de cantidades por
encima de ésta. Si c(x) denota el costo de x unidades por mes,
estudie la continuidad y la diferenciabilidad de c(x) y bosqueje
su gráfica.
43. (Costo de un empleado) Denotemos con f(x) el costo por
semana que una empresa gasta en el contrato de un empleado
que trabaja x horas por semana. Este costo consta
de (1) un costo fijo de $20, (2) un sueldo de $6 por hora
durante las primeras 35 horas, (3) un salario extra de $9 la
hora por horas laboradas más allá de las 35 pero sin llegar
a las 45 horas, y (4) un salario extraordinario de $12 por
horas laboradas sobrepasando las 45. Estudie la continuidad
y la diferenciabilidad de f(x) y dibuje su gráfica.
44. (Impuesto sobre la renta) En cierto país las tasas de impuestos
graduadas son como siguen: 10% en los primeros
2000 denarios (la unidad monetaria); 25% en los siguientes
4000, y 40% en cualquier ingreso adicional. Exprese la
cantidad de impuesto sobre la renta como una función del
ingreso y dibuje la gráfica de esta función.
45. (Impuesto sobre la renta) En el país del ejercicio 44 se ha
propuesto cambiar el grupo de impuestos a lo siguiente: no
hay impuesto en los primeros 2000 denarios, 30% en los siguientes
4000 y 50% en cualquier ingreso adicional. Exprese
el cambio en el impuesto sobre la renta individual como
una función de su ingreso y dibuje la gráfica de la función.
46. (Función de costo discontinua) Para niveles de producción
superiores a las 1000 unidades semanales, la función
de costo de una compañía es C(x) 5000 8x, donde x
es el nivel de producción. Si x 1000 se debe abrir una
nueva línea de montaje y la función de costo se vuelve
C(x) 9000 6x. Si las unidades son vendidas a $16 cada
una, construya la función de utilidades de la empresa.
Haga la gráfica de esta función y analice su continuidad.
47. (Tarifas postales) Una carta de primera clase tiene un costo
de l2¢ por gramo o fracción menor. Denotemos con f(x)
el costo de enviar una carta que pesa x gramos. Analice la
continuidad y la diferenciabilidad de f(x) y bosqueje su
gráfica 0 x 8.
REPASO DEL CAPÍTULO 11
Términos, símbolos y conceptos importantes
11.1 Incremento, x, y
Tasa de cambio promedio de y con respecto a x: y/x
Velocidad promedio.
11.2 Velocidad instantánea.
Límite (o valor límite): lím f(x)
x→c
Funciones continuas.
11.3 Derivada: Para y f(x): d y
, d f d
, y, y′, f′(x)
dx
dx
d x
Diferenciabilidad, diferenciación.
Pendiente de la recta tangente.
11.4 Fórmulas para las derivadas de potencias.
11.5 Costo marginal, C′(x). Costo promedio, C(x) C (x)/x
Ingreso marginal, R′(x). Utilidad marginal, P′(x)
Productividad marginal, rendimiento marginal, tasa
marginal de impuestos.
Propensión marginal al ahorro y al consumo.
11.6 Límites laterales:
límites por arriba (por la derecha), lím f(x);
x→c
límite por abajo (por la izquierda), lím f(x);
x→c
Continuidad, discontinuidad, discontinuidad de salto.
Fórmulas
x x 2
x 1
Si y f(x), entonces y f(x x) f(x)
Velocidad promedio s
. Velocidad instantánea lím
s
t
t→0 t
Teoremas sobre límites:
lím (mx b) mc b
x→c
lím
x→c
lím
x→c
lím
x→c
lím
x→c
bf (x) b lím f(x)
x→c
[f(x)] n [lím f(x)] n
x→c
[f(x) g(x)] lím
x→c
[f(x) g(x)] lím
x→c
lím f(x)
lím f ( x)
x→c g( x)
x→c
lím
x→c
g(x)
f(x) lím g(x)
x→c
f(x) lím g(x)
x→c
REPASO DEL CAPÍTULO 11 491