Matemáticas aplicadas

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2
d
d
x
f(x) dx g(x) dx
d
d f(x) dx
d
d g(x) dx
x
f(x) g(x)
En consecuencia, f(x) g(x) es la derivada de ∫ f(x) dx ∫ g(x) dx, y así por la definición
de antiderivada,
x
[f(x) g(x)] dx f(x) dx g(x) dx
EJEMPLO 5 Determine f(x), si f′(x) (x 2 1)(4x – 3) y f(1) 5
Solución Desarrollando los paréntesis, obtenemos f′(x) 4x 3 – 3x 2 4x – 3
Utilizando los teoremas anteriores, la antiderivada es
f(x) 4( 1 4 x 4 ) 3( 1 3 x 3 ) 4( 1 2 x 2 ) 3x C
x 4 x 3 2x 2 3x C
☛ 6. Encuentre g(x), si
g′(x) 1 2x y g(0) 4
en donde C es una constante desconocida. Pero en este caso se nos da la información
de que f(1) 5, y esto nos permite determinar el valor de C. Como f(1) 1 4 1 3
2 1 2 3 1 C C – 1 5. Por consiguiente, C 6, y así
f(x) x 4 – x 3 2x 2 – 3x 6 ☛ 6
EJEMPLO 6 (Costo extra de producción) Una compañía actualmente produce l50
unidades por semana de producto. Por experiencia, saben que el costo de producir
la unidad número x en una semana (esto es, el costo marginal) está dado por
C′(x) 25 0.02x
Suponiendo que este costo marginal aún se aplica, determine el costo extra por semana
que debería considerarse al elevar la producción de 150 a 200 unidades por
semana.
Solución El costo marginal es la derivada de la función de costo. En consecuencia,
la función de costo se obtiene integrando la función de costo marginal.
C(x) C′(x) dx (25 0.02x) dx
2
25x (0.02) x K 25x 0.01x 2 K
2
en donde K es la constante de integración. No tenemos la información suficiente
para determinar el valor de K. Sin embargo, deseamos calcular el incremento en el
costo que resulta de elevar x de 150 a 200 [esto es, C(200) C(150)].
Respuesta g(x) x x 2 4
C(200) 25(200) 0.01(200) 2 K 4600 K
C(150) 25(150) 0.01(150) 2 K 3525 K
626 CAPÍTULO 15 INTEGRACIÓN