Matemáticas aplicadas

Un método alternativo (que evita tal eliminación) fue desarrollado por el matemático
francés J.L. Lagrange (1736-1813) y se conoce como el método de multiplicadores
de Lagrange. Suponga que nos interesa encontrar el valor extremo de la
función f(x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) 0. Entonces, construimos una
función auxiliar F(x, y, z, ) definida por
F(x, y, z, ) f(x, y, z) g(x, y, z)
La nueva variable (lambda) se denomina multiplicador de Lagrange.
De acuerdo con el método de multiplicadores de Lagrange, si (x 0
, y 0
, z 0
, 0
) es
un punto crítico de F(x, y, z, ), entonces, (x 0
, y 0
, z 0
) es un punto crítico de f(x, y, z)
sujeta a la restricción g(x, y, z) 0, y recíprocamente. Así, con el objetivo de encontrar
los puntos críticos de f(x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) 0, podemos
en lugar de ello hallar los puntos críticos de la función auxiliar F(x, y, z, ). Éstos están
dados por las condiciones
F x
f x
g x
0
F y
f y
g y
0
F z
f z
g z
0
F λ
g 0
☛ 18. Suponga que deseamos encontrar
el valor mínimo de f(x, y)
x 2 y 2 sujeto a la restricción g(x,
y) 2x 3y – 12 0.
Escriba las condiciones de los multiplicadores
de Lagrange para el
punto crítico y resuélvalas.
La última ecuación no es otra cosa que la ecuación restrictiva dada g(x, y, z) 0. El
método de los multiplicadores de Lagrange no indica directamente si f(x, y, z) tendrá
un máximo, un mínimo o un punto silla en el punto crítico. En problemas prácticos
a menudo nos dejamos llevar por la intuición al decidir si el punto crítico da
un máximo o un mínimo. Existe un criterio que puede aplicarse, pero es complicado.
☛ 18
EJEMPLO 2 Resolvamos el ejemplo 1 de nuevo, esta vez por el método de multiplicadores
de Lagrange. Teníamos la función
f(x, y, z) C p(3xy 2yz 2zx)
y la restricción xyz 1500. Esta restricción puede escribirse en la forma
La función auxiliar en este caso es
g(x, y, z) xyz 1500 0
F(x, y, z, ) f(x, y, z) g(x, y, z)
p(3xy 2yz 2zx) (xyz 1500)
Los puntos críticos de F están determinados por las condiciones siguientes:
Respuesta 2x · 2 0,
2y · 3 0,
2x 3y – 12 0
La solución es x 2 1 4 3 ,
F x
p(3y 2z) yz 0
F y
p(3x 2z) xz 0
F z
p(2x 2y) xy 0
y 3 1 6 3 SECCIÓN 17-5 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (SECCIÓN OPCIONAL) 753