Matemáticas aplicadas

☛ 12. Dada la matriz de transición
0.3 0.7
0.5 0.5
encuentre las matrices de estado
después de uno y dos pasos, si
la matriz de estado inicial es
A 0
[0.2 0.8]
estaba a la baja, de modo que inicialmente la probabilidad p 1
de que el sistema se
encuentre en el estado 1 es 0 y la probabilidad p 2
de que el sistema se encuentre en
el estado 2 es 1. Así, la matriz de estado inicial A 0
del sistema es
A 0
[p 1
p 2
] [0 1]
Como se advierte en la figura 2, después de 1 día, la acción está al alza (estado
1) con probabilidad p 1
0.8 y a la baja (estado 2) con probabilidad p 2
0.2. Así
que la matriz de estado A 1
después de 1 día está dada por
A 1
[p 1
p 2
] [0.8 0.2]
A partir de la figura 2, la probabilidad de que la acción irá al alza después de 2 días es
p 1
(0.8)(0.1) (0.2)(0.8) 0.08 0.16 0.24
De manera similar, la probabilidad de que la acción esté a la baja después de 2 días es
p 2
(0.8)(0.9) (0.2)(0.2) 0.72 0.04 0.76
Así que la matriz de estado A 2
después de 2 días está dada por
Al cabo de 3 días la matriz de estado es
A 2
[p 1
p 2
] [0.24 0.76]
A 3
[p 1
p 2
] [0.632 0.368]
El teorema siguiente indica cómo calcular la matriz de estado del sistema en
cualquier etapa si se conoce la matriz de estado del ensayo previo.
TEOREMA 1 Si P denota la matriz de transición de una cadena de Markov y A k
es
la matriz de estado después de k ensayos, entonces la matriz de estado A k1
después
del ensayo siguiente está dada por
A k1
A k
P
Considere de nuevo el problema del ejemplo 3. La matriz de estado inicial es
A 0
[0 1] y la matriz de transición es
P
0.1 0.9
0.8 0.2
La matriz de estado después de una etapa (día) está dada por
A 1
A 0
P [0 1]
0.1 0.9
[0.8 0.2]
0.8 0.2
La matriz de estado al cabo de 2 días es
A 2
A 1
P [0.8 0.2]
0.1 0.9
[0.24 0.76]
0.8 0.2
Respuesta A 1
[0.46 0.54]
A 2
[0.408 0.592]
Estos resultados concuerdan con los que obtuvimos antes directamente del diagrama
de árbol. ☛ 12
374 CAPÍTULO 9 INVERSAS Y DETERMINANTES