Matemáticas aplicadas

De manera similar, el valor de la inversión al término de 3 años será de 1000(1.1) 3
dólares, etc. De modo que los valores de la inversión (en dólares) al término de 0
años, 1 año, 2 años, 3 años, etc., son
1000, 1000(1.1), 1000(1.1) 2 , 1000(1.1) 3 , ...
Observe la diferencia entre este ejemplo y el caso de interés simple analizado en la
sección anterior. Con interés simple, una cantidad constante se añade en cada periodo.
Con interés compuesto, el valor se multiplica por un factor constante cada periodo
(1.1 en este ejemplo). Esta sucesión es un ejemplo de una progresión geométrica.
DEFINICIÓN Una sucesión de términos se dice que están en una progresión geométrica
(PG) si la razón de cada término al término anterior es siempre la misma.
Esta razón constante se denomina razón común de la PG.
De esta manera, la sucesión 2, 6, 18, 54, 162, . . . es una PG porque
6 2 1 6 8 5 1 4 8 1 5 6 4 2 3
La razón común es 3.
También, la sucesión 1 3 , 1 6 , 1 1 2 , 2 1 4 , . . . es una PG con razón común 1 2 .
Cada término de una PG se obtiene multiplicando al anterior por la razón común.
Si a es el primer término y r es la razón común, los términos sucesivos de la
PG son
a, ar, ar 2 , ar 3 , ...
En esta PG, observamos que la potencia de r en cualquier término es uno menos que
el número del término. Así que el n-ésimo término está dado por
T n
ar n1 (1)
EJEMPLO 1 Determine los términos quinto y n-ésimo de la sucesión 2, 6, 18,
54, . . .
Solución La sucesión es una PG debido a que
6 2 1 6 8 5 1 4 8 3
☛ 8. Determine los términos
sexto y n-ésimo de la PG 3, 6,
12, 24, . . .
En consecuencia, los términos sucesivos tienen una razón constante de 3; esto es,
r 3. Asimismo, a 2. Por tanto,
T 5
ar 4 2(3 4 ) 162 y también T n
ar n1 2 3 n1 ☛ 8
EJEMPLO 2 Los términos cuarto y noveno de una PG son 1 2
sexto término.
y 2 1 4 6 .
3
Determine el
Solución Sea a el primer término y r la razón constante de la PG. Entonces, usando
nuestros valores dados, tenemos que
Respuesta T 6
96,
T n
3 (2) n1
T 4
ar 3 1 2 y también T 9 ar8 2
1
4
6
3
Dividimos la segunda ecuación entre la primera y despejamos a r.
274 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS