Matemáticas aplicadas

17-4 OPTIMIZACIÓN
En el capítulo 13 vimos que uno de los usos más importantes y de mayor aplicación
del cálculo de funciones de una sola variable es la determinación de los valores máximos
y mínimos de funciones. El problema correspondiente, el cálculo de máximos
y mínimos de funciones de varias variables, es igual de importante, y en esta sección
lo estudiaremos en el caso de funciones de dos variables.
DEFINICIÓN La función f(x, y) tiene un máximo local en el punto (x 0
, y 0
) si f(x,
y) < f(x 0
, y 0
) para todos los puntos (x, y) lo suficientemente cercanos a (x 0
, y 0
) con
excepción de (x 0
, y 0
) mismo.
La función f(x, y) tiene un mínimo local en el punto (x 0
, y 0
) si f(x, y) f(x 0
,
y 0
), para todos los puntos (x, y) lo suficientemente cercanos a (x 0
, y 0
), con excepción
de (x 0
, y 0
) mismo.
El valor correspondiente de f(x 0
, y 0
) se denomina el valor máximo local (o
valor minimo local, según sea el caso) de la función f. El término extremo abarca
tanto a máximos como a mínimos.
En el caso de funciones de una variable, estudiamos dos tipos de extremos,
uno en el que la derivada se hacía igual a cero y otro en que la derivada no existía,
correspondiendo a una esquina o pico de la gráfica de la función. En esta sección, por
razones de simplicidad, nos restringiremos al primer tipo. Esto es, sólo consideraremos
funciones cuyas gráficas sean superficies suaves en tres dimensiones. Esta
restricción no es seria dado que la vasta mayoría de las aplicaciones tratan con
funciones cuyas gráficas son suaves.
Sea la función z f(x, y) con un máximo local en (x 0
, y 0
). Construyamos la
sección vertical de la gráfica determinada por y y 0
, es decir, la sección a través del
punto máximo. Esta tiene la ecuación z f(x, y 0
) y puede representarse por una gráfica
en el plano xz. (Véase la figura 13). Puesto que la superficie z f(x, y) presenta
un máximo si x x 0
y y y 0
, esta sección debe tener un máximo local en x x 0
.
z
z
z 0
z f (x, y 0 )
z 0
z f (x 0
, y)
0 x 0
x
0 y 0
y
FIGURA 13 FIGURA 14
SECCIÓN 17-4 OPTIMIZACIÓN 745