Matemáticas aplicadas

año, a el costo de preparación de cada serie de producción
y b el costo de producción por artículo. Se sigue que el costo
óptimo del lote por serie de producción está dado por
x 2aD/s. El costo mínimo por año de producir los artículos
es C bD 2aDs. Si D 10,000, s 0.2, a
10 y b 0.1, evalúe x y C. Mediante diferenciales estime
los errores en x y C si el valor exacto de s es 0.22.
34. (Medidas físicas) La aceleración debida a la gravedad g,
se determina midiendo el periodo de balanceo de un péndulo.
Si la longitud del péndulo es l y la medida de un periodo
es T, entonces g está dada por la fórmula
g
4π 2 l
T
2
Encuentre el error porcentual en g si:
a) l está medida con exactitud pero T tiene un error de 1%
b) T está medida con exactitud pero l tiene un error de 2%
35. (Modelo lineal de costos) Actualmente una compañía produce
200 unidades diarias y sus costos diarios son $5000.
Si el costo marginal es $20 por unidad, obtenga un modelo
lineal de costos que aproxime a la función de costo C(x)
para x cercano a 200.
36. (Modelo lineal de ingresos) Actualmente una compañía
produce 1500 unidades mensuales y vende todas las unida-
des que produce. Su ingreso mensual es $30,000. Si el ingreso
marginal actual es $180, obtenga una fórmula lineal
que aproxime la función de ingreso R(x) para x cercana a
1500.
37. (Modelo lineal de utilidad) Actualmente una compañía
produce 50 unidades semanales y su utilidad semanal es
$2000. Si la utilidad marginal actual es $15, obtenga una
fórmula lineal que aproxime a la función de utilidad semanal
P(x) para x cercana a 50.
38. (Modelo lineal de costo) El costo mensual de producir x
unidades de su producto, para cierta compañía, está dado
por C(x) 2000 16x 0.001x 2 . Actualmente la compañía
está produciendo 3000 unidades mensuales. Obtenga
un modelo lineal de costo que aproxime la función de costo
mensual C(x) para x cercana a 3000.
39. (Modelo lineal de ingresos) La función de demanda semanal
de cierto producto es p 50 0.2x. Actualmente, la
demanda es de 200 unidades semanales. Obtenga una
fórmula lineal que aproxime la función semanal de ingreso
R(x) para x cercana a 200.
40. (Modelo lineal de utilidad) La función de demanda diaria
del producto de una compañía es p 45 0.03x. El costo
de producir x unidades diarias está dada por C(x)
1500 5x 0.01x 2 . La compañía actualmente está produciendo
500 unidades diarias. Obtenga una fórmula lineal
que aproxime la función de utilidad diaria P(x) para x cercana
a 500.
14-2 DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA
Como se expuso en la sección 5-5, una relación entre dos variables algunas veces se
expresa por medio de una relación implícita más que mediante una función explícita.
Así, en vez de tener y dada como una función f(x) de la variable independiente
x, es posible tener a x y y relacionadas a través de una ecuación de la forma F(x, y)
0, en que ambas variables aparecen como argumentos de alguna función F. Por
ejemplo, la ecuación
F(x, y) x 3 2x 2 y 3xy 2 y 3 1 0
expresa cierta relación entre x y y, pero y no está dada explícitamente en términos
de x.
El asunto que deseamos considerar en esta sección es cómo calcular la derivada
dy/dx cuando x y y están relacionadas por una ecuación implícita. En ciertos
casos, es posible resolver la ecuación implícita F (x, y) 0 y obtener y en forma explícita
en términos de x. En tales casos, las técnicas estándar de derivación permiten
calcular la derivada en la forma ordinaria. Sin embargo, en muchos ejemplos no es
posible obtener la función explícita; con la finalidad de cubrir tales situaciones, es necesario
usar una nueva técnica que se conoce como diferenciación implícita.
600 CAPÍTULO 14 MÁS SOBRE DERIVADAS