Matemáticas aplicadas

Puesto que 1/x es la derivada de ln x, se sigue que la antiderivada de 1/x debe ser
ln x, más la constante de integración.
Cuando x 0, tenemos que⏐x⏐ x. Por consiguiente,
d d
1
ln⏐x⏐ ln (x) (1) 1 d x d x ( x) x
en donde la derivación se realizó mediante la regla de la cadena. Así que, 1/x es
la derivada de ln⏐x⏐para x 0, así como si x 0. Por tanto, la antiderivada de 1/x
debe ser ln⏐x⏐ C, como se dio en la tabla, para toda x 0.
Ahora probamos dos teoremas que simplificarán el álgebra de integración.
TEOREMA 1 La integral del producto de una constante de una función de x es
igual a la constante por la integral de la función. Esto es, si c es una constante.
cf(x) dx c f(x) dx
EJEMPLO 2
a) 3x 2 dx 3 x 2 dx 3 x 3
3
C x 3 C
☛ 4. Determine
b) 4 3 t dt
a) 2 x dx
b) 2e x dx 2 e x dx 2e x C
c) 5 dx 5 1 dx 5x C ☛ 4
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 1 Tenemos que
d
d
x
c f(x) dx
d
c d f(x) dx c f(x)
Por consiguiente, cf(x) es la derivada de c f(x) dx, y así a partir de la definición
de antiderivada, se sigue que c f(x) dx debe ser la antiderivada de cf(x). En otras
palabras,
x
c f(x) dx c f(x) dx
lo cual prueba el resultado.
Respuesta a) 2 ln⏐x⏐ C
b) 3t 4/3 C
Como resultado de este teorema, se sigue que podemos sacar cualquier constante
multiplicativa del interior del signo de integral.
624 CAPÍTULO 15 INTEGRACIÓN