Matemáticas aplicadas

Así que el valor total del plan al cumplir su décimo aniversario se obtiene sumando
estas cantidades con el pago actual de $1000.
S 1000(1.08) 10 1000(1.08) 9 1000(1.08) 1000
Al escribir esto en orden inverso:
S 1000 1000(1.08) 1000(1.08) 2 1000(1.08) 10
Esta es una PG con a 1000, r 1.08 y n 11. Por tanto,
S 1000 (1 .08) 1 1
1
1.08
1
usando la fórmula que da la suma de una PG. Simplificando, tenemos que
☛ 12. Vuelva a resolver el
ejemplo 5, si la tasa de interés
es 10% anual.
S 1 000
[(1.08) 11 1] 12,500(2.3316 1) 16,645
0.08
Así que el valor es $16,645. ☛ 12
La suma de los primeros n términos de la sucesión geométrica
está dada por
a ar ar 2
a(1 r
S n
n )
(2)
1 r
Consideremos el comportamiento de r n para n grande cuando 1 r 1. Elijamos
un ejemplo específico, sea r 1 2 . La tabla 2 da los valores de rn para diferentes valores
de n. De esta tabla, observamos que a medida que n se hace más grande, r n se
hace cada vez más pequeño. Por último, cuando n tiende a infinito, r n se acerca a cero.
Este comportamiento de r n (es decir, que r n se acerca cada vez más a cero a medida
que n se hace cada vez más grande) se cumple siempre que 1 r 1. Así
que de la ecuación (2), podemos decir que la suma de un número infinito de términos
de una PG está dada por
TABLA 2
S ∞
a( 1 0) a
1 r 1 r
n 1
r n 0.5
2
0.25
3 4 5 6 7
0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125
Respuesta S 1000 (1 1 .1 .1 )1 1
1
1
18,531
Esto nos conduce al siguiente teorema.
TEOREMA 2 (SUMA DE UNA PG INFINITA) La suma S de una progresión geométrica
infinita
278 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS