Matemáticas aplicadas

las productividades marginales son
Cuando L 5 y K 12,
P
L 5 4L 3K y P 3L 8 6K
K
P
5 4(5) 3(12) 61,
L
P 3(5) 8 6(12) 95
K
☛ 11. Determine las productividades
marginales de la mano de
obra y del capital para la función
de producción P cK a L 1a ,en
donde c y a son constantes.
Esto significa que si L 5 y K 12 (esto es, se emplean 5000 horas-hombre por
semana y el monto del capital invertido es de $12,000 a la semana), entonces, P se
incrementa en 61 por cada incremento unitario en L y P se incrementa en 95 por
cada incremento unitario en K. Por tanto, la producción se incrementa en 6100 artículos
por semana por cada 1000 horas-hombres adicionales de mano de obra empleada
cuando K se mantiene fija, y la producción se incrementa en 9500 artículos
por semana por cada $1000 adicionales de incremento en el monto semanal del capital
invertido cuando L se mantiene fijo. ☛ 11
Las segundas derivadas de P con respecto a K y L tienen también interpretaciones
como tasas de cambio marginales. La tasa cuando la productividad marginal
P/K se incrementa con respecto a cambios en el monto del capital se mide
por 2 P/K 2 . En forma análoga, 2 P/L 2 mide la tasa cuando la productividad marginal
P/L se incrementa con respecto a cambios en la cantidad de mano de obra
empleada. Pueden hacerse interpretaciones semejantes para las derivadas mixtas
2 P/K L y 2 P/L K.
Relaciones de demanda: elasticidades cruzadas
Consideremos ahora una aplicación diferente (a relaciones de demanda). Antes supusimos
que la demanda de un artículo sólo depende del precio por unidad del artículo
particular. En la práctica, esto no siempre es cierto porque la demanda de un
artículo puede verse afectada por el precio de algún otro artículo relacionado. Por
ejemplo, la demanda del filete de res en el supermercado no sólo depende del precio
por kilo del filete mismo, sino también del precio por kilo de filete de cerdo.
Cualquier cambio en el precio en la carne de cerdo afectará siempre la demanda de
la carne de res y viceversa, dado que algunos consumidores estarán dispuestos a
cambiar de un producto a otro.
En general, sean A y B dos artículos relacionados tales que el precio de uno
afecta la demanda del otro. Denotemos con p A
y p B
los precios unitarios de los dos
artículos. Entonces, sus demandas x A
y x B
se supone que son funciones de ambos
precios p A
y p B
, esto es,
x A
f(p A
, p B
) y x B
g(p A
, p B
)
Respuesta
P
L (1 a)cKa L a ,
K
Podemos calcular cuatro derivadas parciales de primer orden.
x A
pA
x
, A
x
, B
,
pB
pA
x B
pB
P acK
a1
L 1a SECCIÓN 17-3 APLICACIONES PARA ANÁLISIS EN LA ADMINISTRACIÓN 739