Matemáticas aplicadas

Deseamos calcular el valor de R para el cual el ingreso per cápita cuando n 20 es
igual a dos veces su valor actual, I 0
/P 0
. En consecuencia, tenemos la ecuación
Se sigue que
Por tanto
I I
P 0
P
0
1 i
1. 03
20 I 2 P 0 0
1 i 20
1. 03 2
1 i
2
1. 03
1/20
☛ 5. En el ejemplo 6, si el PNB
crece 5% por año, ¿en qué factor
per cápita aumentará el ingreso al
cabo de un periodo de 20 años
de modo que 1 i (1.03)(2 1/20 ) (1.03)(1.0353) 1.066. Así que i 0.066 y
R 100i 6.6. En consecuencia, el PNB tendría que incrementarse al ritmo de un
6.6% anual si debe lograrse la meta fijada. ☛ 5
La ecuación de crecimiento exponencial tiene que aplicarse a problemas de
población con cierta cautela. Una población que crece lo hará exponencialmente,
con tal de que no haya factores del medio ambiente que limiten o influyan de alguna
otra manera el crecimiento. Por ejemplo, si la provisión de alimentos disponibles
a la población de cierta especie está limitada, el crecimiento exponencial deberá cesar
eventualmente a medida que la provisión de alimentos llega a ser insuficiente para
la población que todavía está creciendo. Entre otros factores que inhiben el crecimiento
indefinido está la disposición de refugio para las especies, el cual por lo
regular es limitado, la interacción con especies depredadoras, factores sociológicos
que podrían hacer más lenta la expansión de la población en circunstancias de hacinamiento
y, por último, la disponibilidad limitada de espacio físico para la población.
Factores como éstos tienden a frenar el crecimiento exponencial y provocan
que se estacione en algún valor que es la población máxima que el hábitat determinado
puede sostener.
Es evidente en estos tiempos que tales restricciones están impuestas sobre la
población humana, y parece bastante probable que la humanidad no crecerá exponencialmente
durante las décadas siguientes. Así, las futuras proyecciones de la
población humana en periodos largos basadas en la ecuación de crecimiento exponencial
deberán refinarse. Ellas indican lo que sucedería si la tendencia actual continúa,
la cual puede ser diferente de lo que sucederá en realidad.
Respuesta 1 . 05
20
1.
03
1.469
Composición continua
Suponga que una cantidad de dinero, digamos $100, se invierte a una tasa de interés
de 8% compuesta anualmente. Cada año el valor de la inversión aumenta por un
factor de 1.08, de modo que después de N años, es igual a $100(1.08) N . Por ejemplo,
después de 4 años, la inversión tiene un valor de $100(1.08) 4 $136.05.
224 CAPÍTULO 6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES