Matemáticas aplicadas

EJEMPLO 7 Realice las siguientes operaciones:
Solución
d
a) d x 1
x 3 e x dx
0 b) 1
0
d
(x 3 e x ) dx
d x
a) En este caso, es importante observar que la integral definida 1 0 x3 e x dx tiene
un valor constante que no depende de x. En consecuencia,
d
d x 1
x 3 e x dx
0 0
b) Por la definición de antiderivada, si F′(x) f(x),
f(x) dx F′(x) dx F(x) C
☛ 6. Evalúe
a) 1 d
(ln (3 1)) dx
0 d x
d
b) d
1
ln (t 3 1) dt
x 0
d
c) d
1
ln (t 3 1) dt
x 0
Así,
de modo que, omitiendo C,
1
0
d
(x 3 e x ) dx x 3 e x C
d x
d
(x 3 e x ) dx d x x 3 e x 1
1 3 e 1 0 e 0 e
0
Observación Vale la pena notar la diferencia entre las partes a) y b) del ejemplo
7. Las posiciones del signo de integral y del operador de diferenciación d/dx están
invertidos. ☛ 6
TEOREMA 3
a) a
f(x)dx 0
a
b) b
a
f(x)dx a
b
f(x) dx
c) b
f(x)dx c
f(x)dx b
f(x)dx en donde c es cualquier número real
a
a
c
DEMOSTRACIÓN Sea F(x) cualquier antiderivada de f(x). Entonces, por la definición
de integral definida, tenemos lo siguiente:
a) a
f(x) dx [F(x)] a a
F(a) F(a) 0
a
b) Tenemos que
Respuesta a) ln 2 b) 0
c) ln(x 3 + 1)
b
a
f(x) dx F(x)
b
a
F(b) F(a)
656 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA