Matemáticas aplicadas

Sustituyendo x 5, el nivel de producción actual, obtenemos
☛ 10. Repita el ejemplo 6 para
la función de costo
C(x) 12 5x 3x
dC
dt
5
2 1 0 (0.7) 1.05
Así que los costos de producción se están incrementando a una tasa de 1.05 por año.
☛ 10
DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA La demostración de la regla
de la cadena, cuando se presenta en forma detallada, es un poco más complicada que
la dada aquí. Por tanto, incluimos una demostración que, si bien cubre la mayoría
de los casos que consideraremos, tiene algunas restricciones en su rango de aplicabilidad.
Sea x un incremento en x. Puesto que u y y son funciones de x, variarán
siempre que x lo haga, de modo que denotaremos sus incrementos por u y y. Por
tanto, a condición de que u 0,
y
x
y
u
u
x
Hacemos ahora que x → 0. En este límite, también tenemos que u → 0 y que
y → 0, y así
lím
x→0
y
x
lím
x→0
lím
x→0
y
lím
x→0 u
y u
u x
y
lím u
x→0
du
dx
u
x
dy
du
du
dx
Respuesta ( 1 2 5 + 3)(0.7) 2.88
como se requería.
La razón de que esta demostración esté incompleta estriba en la suposición de
que u 0. Para la mayoría de las funciones u(x), nunca se dará el caso de que u
se haga cero si x es muy pequeño (pero x 0). Sin embargo, es posible que una
función u(x) pueda tener la peculiaridad de que u se haga cero repetidas veces a
medida que x → 0. Cuando se presentan tales funciones, la demostración dada
deja de ser válida. Es posible modificar la demostración con la finalidad de cubrir
casos como éste, pero no lo haremos aquí.
EJERCICIOS 12-2
(1-36) Calcule las derivadas de las siguientes funciones con respecto
a la variable independiente respectiva.
5. f(x)
1. y (3x 5) 7
3. u (2x 2 1) 3/2 2. y 5 2t
4. x (y 3 7) 6 6. g(x)
1
(x2 1) 4
1
(x2 x 1) 3
SECCIÓN 12-2 LA REGLA DE LA CADENA 509