Matemáticas aplicadas

☛ 8. Calcule z x
, z xx
y z xxy
para
la función z e2x y2
EJEMPLO 5 Calcule 3 z/x 2 y y 4 z/x y 3 si z x 3 y 4
Solución Tenemos que
z
x 3 4y 3 4x 3 y 3
y
2z
(4x 3 y 3 ) 4y 3 3x 2 12x 2 y 3
x y
x
En consecuencia,
3
z
x
2
y x
2z
x y
(12x 2 y 3 ) 24xy 3
x
y también
3 z
x y 2 y
2z
x y
(12x 2 y 3 ) 36x 2 y 2
y
Así que
4 z
x y 3 y
3 z
x y
= (36x 2 y 2 ) 72x 2 y
2 y
Al igual, que con derivadas ordinarias, hay varias notaciones que se utilizan
para las derivadas parciales. La que se encuentra con mayor frecuencia es la que emplea
subíndices para indicar derivadas parciales; usaremos esta notación en el texto
de vez en cuando. De acuerdo con esta notación, tenemos lo siguiente:
z
se denota por z x
x
o f x
(x, y)
z
se denota por z y
y
o f y
(x, y)
2
z
se denota por z x2
xx
o f xx
(x, y)
2z
se denota por z y x
xy
o f xy
(x, y)
(Observe que z xy
z yx
si son continuas).
4
z
se denota por z y
3
x
xyyy
o f xyyy
(x, y)
Respuesta
z x
(1 2x)e 2xy2
z xx
4(1 x)e 2xy2
Las demás derivadas parciales se denotan de manera similar. ☛ 8
La notación de derivadas parciales se extiende en forma natural a funciones
z f(x 1
, x 2
,..., x n
) de varias variables. Por ejemplo, z/x 1
, se obtiene derivando z
con respecto a x 1
manteniendo x 2
,..., x n
constantes, etcétera.
z xxy 8y(1 x)e 2xy2
SECCIÓN 17-2 DERIVADAS PARCIALES 735