Matemáticas aplicadas

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la producción de una empresa está dada por P(L, K). El costo unitario de la mano de obra y del capital son de a y b dólares, respectivamente. Suponga que la empresa decide elaborar P 0 unidades de su producto, la combinación de mano de obra y capital abate el costo de estas unidades a un mínimo. Pruebe que la razón de las productividades marginales de mano de obra y capital es igual a la razón de sus costos unitarios. 25. (Uso óptimo de materias primas) Una empresa emplea dos tipos de materias primas, A y B, en la elaboración de su producto. Usando x unidades de A y y unidades de B, la empresa puede elaborar T unidades de su producto, en donde T(x, y) 80x 300y 2xy 3x 2 4y 2 a) ¿Cuántas unidades de cada materia prima deberá utilizar la empresa para maximizar su producción ¿Cuál es la producción máxima b) Si a la empresa le cuesta $9 cada unidad de materia prima A y $12 cada unidad de materia prima B y la empresa puede vender todo lo que produce en $15 por unidad, ¿qué cantidades de A y B maximizarían las utilidades de la empresa 26. (Uso óptimo de capital y mano de obra) Si se emplean L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto, en donde P(L, K) 60L 2/3 K 1/3 Los costos de la mano de obra y del capital son de $50 y $90 por unidad. Suponga que la empresa decide elaborar 2000 unidades de su producto. Por medio del método de multiplicadores de Lagrange determine el número de insumos de mano de obra y de capital que deben emplearse con el objetivo de minimizar el costo total. 27. (Producción máxima) Si se utilizan L unidades de mano de obra y K unidades de capital, la producción semanal total de una empresa está dada por P(L, K) 18K 24L 2KL 4K 2 L 2 . Determine el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe utilizar con el objetivo de maximizar su producción. 28. (Medicina) En el tratamiento de cierta enfermedad se utilizan de forma simultánea dos medicamentos. La reacción R medida en las unidades adecuadas para x unidades del primer medicamento y y unidades del segundo es R(x, y) 30 2x 6y x 2 2y 2 Determine los valores de x y y que hacen máxima la reacción, R. *29. (Difusión) El modelo de ecuación del ejercicio 48 de la sección 17-2 para la difusión de una sustancia a través del torrente sanguíneo no toma en cuenta el arrastre debido al movimiento de la sangre. Una ecuación más adecuada para ello es c C(x, t) e(x vt)2/at t donde v es la velocidad de la sangre. Muestre que para esta ecuación se cumple ∂C ∂t a 4 ∂ 2 C ∂x 2 ∂C v ∂x (Nota: Este ejercicio tiene una mayor grado de dificultad que los anteriores). 30. (Zoología) En un experimento se midió la longitud L de cierto tipo de insecto, para varios insectos de diferentes edades. Los resultados se dan en la tabla 15, L está en centímetros y la edad E en días. Muestre que los datos coinciden aproximadamente con la relación lineal L mE b, y determine las constantes m y b. TABLA 15 E 20 25 30 33 38 40 42 46 53 58 60 L 0.90 1.00 1.20 1.16 1.25 1.32 1.36 1.38 1.54 1.67 1.72 31. (Población) De acuerdo con la Oficina de Censos de Estados Unidos, el total de miles de millones de dólares que importó Estados Unidos de México para cada año de 1996 a 2002 se proporciona en la tabla 16. Determine la recta que mejor ajuste los datos dados. Utilícela para estimar el monto de las importaciones para el año 2003. Compare su resultado con el valor proporcionado por la misma fuente. Haga x 0 para 1996, x 1 para 1997, etcétera. TABLA 16 Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Monto imp. (y) 74.3 85.9 94.6 109.7 135.9 131.3 134.6 32. (Mano de obra) En la tabla 17 se muestra como el porcentaje de mujeres en la mano de obra, en Estados Unidos, ha cambiado desde 1955 a 1995. Determine la recta de mínimos cuadrados y utilice ésta para estimar el porcentaje en 1996; compare su resultado con el valor real que fue de 50.3%. Haga x 0 para 1955, x 5 para 1960, etcétera. TABLA 17 Año 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 Porcentaje 35.70 37.70 39.30 43.30 46.30 51.50 54.50 57.50 58.90 (%) PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 17 769
33. (Mínimos cuadrados para funciones cuadráticas) A un conjunto de datos experimentales {(x i , y i )} se requiere ajustar una función cuadrática y ax 2 bx c. Definimos el error cuadrático medio como 1 E [(y 1 ax 2 1 bx 1 n c)2 (y 1 ax 2 1 bx 1 c)2 … (y n ax 2 n bx n c)2] Plantee tres ecuaciones igualando a cero las derivadas parciales ∂E/∂a, ∂E/∂b y ∂E/∂c. Con base en estas ecuaciones, determine los valores de a, b y c en el caso de los datos dados en la tabla 18. TABLA 17 x 0 1 2 3 4 y 9.9 8.2 6.1 3.7 2.4 770 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
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QUINTA EDICIÓN Matemáticas aplica
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ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W
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Contenido PREFACIO xi PARTE UNO ÁL
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PARTE DOS MATEMÁTICAS FINITAS 7 PR
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Repaso del capítulo 14 615 Problem
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• Prácticamente todos los ejerci
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CAPÍTULO 1 Álgebra Álgebra y alg
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☛ 1. ¿Qué tipo de número es ca
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La segunda forma de la propiedad di
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☛ 4. ¿Están definidas las expre
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EJEMPLO 2 a) 3 5 7 9 3 5
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☛ 8. En cada caso, ¿cuál es mí
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Por tanto la expresión dada es igu
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TEOREMA 6 a c b c a b (c 0)
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Esto sugiere que la tabla se comple
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En una expresión, tal como 3c 5 ,
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33. (x 2 y) 3 34. (a b 2 ) 1 49.
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DEFINICIÓN Sea n un enero positivo
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3 9 EJEMPLO 6 Encuentre m tal que
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x3 35. x /7 1/7 y2/ 5 y1/ 5 36.
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Reagrupando los términos, de tal m
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18x 3 15x 2 6x 18x 3 15x 2 6x (3x
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Esta propiedad es útil cuando divi
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☛ 25. Verifique si es correcta la
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☛ 26. Saque todos lo factores com
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EJEMPLO 3 Factorice ax 2 by 2 bx
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Solución a) La factorización de x
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Con el propósito de que una expres
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) Multiplicamos por x 2 5: ☛ 34.
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5(x 2 4) (x 1)(x 2 4x 4) 3(x
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EJERCICIOS 1-7 (1-40) En las expres
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REPASO DEL CAPÍTULO 1 Resumen 1.1
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33. 64 f 3 1 41. 10t 2 13tu 3u 2
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CAPÍTULO Ecuaciones de una variabl
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Así, por ejemplo, 5 es una raíz d
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lo cual concuerda con la ecuación
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EJEMPLO 4 Solución Resuelva la ecu
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EJERCICIOS 2-1 (1-10) Compruebe si
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Paso 2 Luego, el segundo entero es
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17. (Inversión) Una persona invirt
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Observemos que el punto crucial del
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☛ 12. Resuelva la ecuación: x 2
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Terminamos esta sección deduciendo
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41. 7x 3(x 2 5) x 3 42. 2x(4x
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a una renta de $180 mensuales. A un
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Solución Al final del primer año,
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c) Determine la altura máxima que
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16. 21x 30 45x 26 17. 32x 8 x *
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CAPÍTULO 3 Desigualdades ¿Comprar
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Por una colección bien definida, e
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☛ 3. ¿Las siguientes proposicion
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Usamos los símbolos q (infinito) y
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EJEMPLO 1 a) 3 x 2x 4 es una desi
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Pero, dado que (a c) (b c) es po
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Solución En este caso, como x apar
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mano de obra. Determine el número
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3/2 0 4 FIGURA 8 quier punto en cad
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Solución El ingreso I (en dólares
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lar de incremento en el precio, las
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establece que la distancia entre x
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Solución Utilizando la proposició
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(37-38) Exprese las siguientes afir
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42. ⏐2x⏐ ⏐x⏐ 12 *43. ⏐x
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CAPÍTULO 4 Líneas rectas El probl
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☛ 1. Grafique los puntos (4, 0),
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y (0, y 2 ) B Q (x 2 , y 2 ) (0, y
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face cuando sustituimos x 1 y y 1.
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TABLA 3 q 0 1 2 3 p 10 7 4 1 Grafic
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Observemos que la elevación es igu
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A través de cualquier punto, hay p
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Enseguida, supóngase que la línea
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☛ 9. Determine la pendiente y la
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Esto se ilustra en la figura 17. De
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Haciendo x 0 en la ecuación (2),
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☛ 14. Una compañía está utiliz
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(20, 25) y (30, 20). La pendiente d
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cienden a 2000 televisores al mes.
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DEFINICIÓN Un sistema de ecuacione
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Solución La primera etapa consiste
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líneas, y de aquí, dan una soluci
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Solución En este sistema, una de l
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Ahora tenemos que resolver dos ecua
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por las ventas, no hay utilidad ni
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elación lineal como una representa
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☛ 25. Si la ley de la demanda es
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EJEMPLO 7 (Subsidio y punto de equi
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(9-14) (Equilibrio del mercado) Det
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6. Pasa por los puntos (0, 0) y (7,
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CASO DE ESTUDIO EL PROBLEMA DE LA S
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5-1 FUNCIONES ☛ 1. ¿Lo siguiente
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Por tanto, g(1) g(h) 6 3h 2 2h
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les x para los cuales f (x) es un n
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En los ejemplos anteriores, hemos e
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Una función f definida por la rela
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(19-24) Evalúe [ f (x h) f (x)]/
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65. De un hoja rectangular de 20 1
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Solución Comparando la ecuación y
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☛ 14. En el ejemplo 3, exprese la
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) El ingreso I obtenido por vender
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☛ 17. Dibuje las gráficas de f (
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☛ 18. Determine la ecuación del
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Algunas veces sucede que una empres
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Funciones valor absoluto Si x es un
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Solución Para 3 x 0, esto es, pa
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tintas al tiempo t; ahora, el ingre
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) g(4) 4 2. Tenemos (f ° g)(4)
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3q 600. Como una función de la ca
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La ecuación (1) podría pensarse t
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☛ 28. Dada f (x) como sigue, encu
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13. xy 2 (x 2 1)y x 0 14. y 2
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32. (Función de costo) El costo po
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CAPÍTULO 6 Logaritmos y exponencia
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EJEMPLO 1 (Inversiones) Una suma de
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Para la segunda, i 0.0305 y k 4,
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☛ 6. Suponga que $1 se invierte a
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EJEMPLO 8 (Inversión) Una inversi
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EJERCICIOS 6-1 (1-2) Si $2000 se in
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6-2 FUNCIONES EXPONENCIALES Conside
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5 y y = 3 x 1 y = ( ) 3 x 4 3 y =
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☛ 11. Utilizando los valores tabu
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35. Durante el otoño, en promedio
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Al igual que con cualquier función
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Los logaritmos tienen las cuatro pr
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) En la base de la tabla, encontram
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Logaritmos comunes En algún tiempo
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(23-28) Dado que log 5 0.6990 y lo
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Por tanto, log 2.5 0.3979 n (de
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) e (1.609)t ; c) e [ln (1i )]t P
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☛ 29. Exprese lo siguiente en té
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y y m y 0 0 t Por tanto, y se hace
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Tomando logaritmos naturales de amb
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tamaño de la población después d
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h) l n a5 ln a ln a3 2 1 i) log
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Calcule el porcentaje de la muestra
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CAPÍTULO 7 Progresiones y matemát
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El n-ésimo término está dado por
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Si la inversión es a interés simp
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☛ 7. Una PA tiene segundo términ
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* 28. (Descuento simple) La señori
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16 243 a r8 ar3 1 2 r 5 1
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S n a( 1 r n ) 1 r Esto prueba
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☛ 13. El decimal recurrente 0.515
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Planes de ahorro El tipo más simpl
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☛ 15. Utilizando la tabla A.3.4 e
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☛ 18. Utilizando la tabla A.3.4 d
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En consecuencia, la ecuación (1) t
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24. (Plan de ahorro) El señor Lóp
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que describen un proceso que evoluc
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y se satisface la ecuación en dife
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TABLA 4 n 0 1 2 3 4 5 6 7 Año 1991
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☛ 25. Determine la solución para
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Por lo regular, esta ecuación en d
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Ahora, el préstamo inicial (que es
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0.5 y n y n1 y 1 00 n1 1000 1.
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a) Determine la ecuación en difere
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☛ 30. En el ejemplo 1, evalúe a)
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TEOREMA 2 a) n k1 b) n k1 c) n k
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☛ 32. Evalúe a) 20 (j 1) 2 j1
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PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 7
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CASO DE ESTUDIO ¿CÓMO SALVAR EL H
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8-1 MATRICES Una empresa produce cu
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Una matriz con el mismo número de
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Respuesta Calculamos la matriz de v
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a) Escriba una matriz que represent
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P Q R A 3 2 4 2 5 1 Producto I P
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En consecuencia, en detalle, ☛ 8.
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Por consiguiente, AI IA A. Advert
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Definimos la matriz A m n cuyos el
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36. Dé un ejemplo de dos matrices
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2y 2. Sumando esto a la primera ec
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☛ 13. Escriba la matriz aumentada
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Usemos ahora el segundo renglón pa
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Para la primera columna aplicamos l
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8-4 SISTEMAS SINGULARES Todos los s
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Al igual que en el ejemplo 1, obtuv
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Solución La matriz aumentada es P
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*32. Daniela es la gerente de una c
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Por tanto, para el segundo año: C(
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9-1 LA INVERSA DE UNA MATRIZ DEFINI
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o bien, Por consiguiente, a 3c b
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☛ 4. Encuentre A 1 , si 5 4 A 4
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☛ 6. Resuelva el ejemplo 6 si 0 1
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Leontief, la economía de Estados U
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☛ 7. ¿Cuáles son las produccion
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☛ 9. Una economía de dos sectore
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9-3 CADENAS DE MARKOV (OPCIONAL) Un
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☛ 10. ¿Las matrices siguientes s
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Hoy Primer día Segundo día Tercer
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EJEMPLO 4 (Predicción del tiempo)
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en lugar de [0.25 0.75]. En otras p
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Estado 1 Estado 2 Estado 1 0.6 0.4
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a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
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Solución Desarrollando por el prim
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Una aplicación importante de los d
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Debe señalarse que la regla de Cra
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De manera similar, 11 1 2 3 A 11 (
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a) Determine la matriz insumo-produ
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TABLA 10 Industria Demandas Producc
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44. Tira un par de dados no cargado
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CAPÍTULO 10 Programación lineal C
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La gráfica de la desigualdad Ax B
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90y 30,000 165x 165 30,000 90y x
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☛ 4. ¿Cómo se modifican las des
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nen un costo no mayor de $1.00 y qu
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y 40 5x 3y 105 20 (12, 14) 2x 4y
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☛ 7. Utilice el método gráfico
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te evidente que la línea de utilid
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Consideremos un problema de program
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y 20% de nueces; mientras que la m
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y las ecuaciones lineales y t 1.5
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y 3 2 A x y 2.5 (v 0) B y 1.5 (
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☛ 13. Construya la tabla símplex
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0.3x 0.4y t u w 19.5 0.6x 0
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10-4 MÉTODO SÍMPLEX El procedimie
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Variable de salida u: Mediante un a
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x y t u y 0 1 2 7 1 7 2 x 1 0
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Paso 1 Definimos las variables de h
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EJEMPLO 3 Minimice C 10 x 2y suj
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CASO DE ESTUDIO PRODUCCIÓN ÓPTIMA
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11 CAPÍTULO CAPÍTULO La derivada
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q 1 500(150 p 1 ) 500(150 120)
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☛ 2. Calcule y para valores gener
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s(t) 16t 2 Determine la velocidad
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) t 3 y t 4 años c) t 3 y t 3
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TABLA 1 t s/t 0.5 0.25 0.1 0.01 0.0
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☛ 6. Después del ejemplo 1, eval
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☛ 7. Utilizando los teoremas 1 y
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☛ 9. Evalúe los siguientes lími
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EJERCICIOS 11-2 (1-30) Evalúe los
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La tasa de crecimiento promedio dur
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Deseamos tomar el límite cuando x
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☛ 14. En el ejemplo 4, encuentre
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DEMOSTRACIÓN a) En la función y
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☛ 17. Encuentre d y si dx 2 a)
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Si n es un entero positivo, a n b
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59. (Móvil) La distancia recorrida
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El costo marginal mide la tasa con
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Ingreso y utilidad marginales Ahora
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La utilidad marginal es la derivada
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La razón S/I representa la fracci
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y 2 1 (2, 1) (4, 3) 1 y 0 1 2 3 4 x
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Recordemos la definición de contin
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☛ 25. (Más difícil) Utilizando
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☛ 27. (Más difícil) Demuestre q
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42. (Función de costo de la electr
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29. (p 3 3p)(p 2 1) 30. (p 3 )(
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t E(t) 6000 5 0 , para 1 t 50
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12-1 DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIE
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☛ 3. Utilice la regla del cocient
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Solución C(x) 0.003x 2 0.6x 40
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(x 31. f (x) 2 1)(2x 3) (t 3)(3
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de la función es la quinta potenci
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Para determinar du/dx escribimos u
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Sustituyendo x 5, el nivel de prod
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vertido K en planta y maquinaria. S
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Pero usando una propiedad básica d
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Por tanto, cuando se gastan $3000 e
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☛ 15. Derive a) y ln [(x 1) 2 ]
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55. y a x 56. y 3 x2 1 57. y log
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mecánica establece que cuando una
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C' (x) 17.5 10 0 50 100 150 x EJEMP
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Regla de cadena: Tasas relacionada
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CASO DE ESTUDIO PROPENSIÓN MARGINA
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CAPÍTULO 13 Optimización y bosque
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y y y f(x) y f(x) y y y y y y 0
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TABLA 1 ☛ 2. ¿Para qué valores
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31. (Análisis del ingreso marginal
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☛ 4. Proporcione los valores de x
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4 5 x3 (x 1) 1/5 [5(x 1) x] 4
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f existe para toda x, así los punt
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x 11. 2 12. x 2/3 x 1/3 33. f(x)
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☛ 9. Determine los intervalos en
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4000 C(x) 1 (150, 3162 ) 2 (100, 28
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Prueba de la segunda derivada En la
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☛ 13. Para cada una de las siguie
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☛ 14. Determine los intervalos en
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En consecuencia, la gráfica es cre
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EJERCICIOS 13-4 (1-12) Bosqueje las
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La solución de problemas de optimi
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Una de las aplicaciones más import
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☛ 19. Determine el valor de x que
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La utilidad máxima es P máx (20
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da vez, los costos de almacenamient
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31. (Modelo de costo de inventarios
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13-6 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
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La tapa cuesta (r 2 )(300) dólares
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11. f(x) x ln x; e 1 x e 12. f(
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TABLA 8 x 1 10 100 1000 10,000 f(x
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Solución a) Tenemos que Por la reg
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☛ 28. Para la función 1 y , det
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a cero a través de valores positiv
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EJERCICIOS 13-7 (1-36) Evalúe, si
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Punto de inflexión. Prueba de la s
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Determine la tasa de producción x
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CASO DE ESTUDIO OPTIMIZACIÓN DE CO
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CAPÍTULO 14 Más sobre derivadas C
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EJEMPLO 2 Si y x 3 3x, determine
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☛ 3. Haciendo elecciones apropiad
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☛ 6. Vuelva a resolver el ejemplo
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Al usar esta técnica, derivamos ca
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La ecuación de la línea tangente
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☛ 11. Determine los puntos en la
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35. ln (yz) y z 36. xe y ye x 1
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EJEMPLO 3 Calcule dy/dx si y (x 2
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p x dx pf(p) dp f(p) Antes de
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La idea de elasticidad puede aplica
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e las relaciones de demanda siguien
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para los cuales la demanda es a) el
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Por otro lado, considere los siguie
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15-1 ANTIDERIVADAS ☛ 1. a) ¿Cuá
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Así, si se quiere integrar cualqui
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Precaución Las variables no pueden
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☛ 7. Determine la función de cos
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67. (Costo marginal) La función de
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☛ 8. Establezca los resultados qu
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Se sigue que 2x 3 dx u 1 2 du
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4x 1 18. dx 2x2 x 1 19. xx 2
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☛ 11. Utilice la tabla para encon
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☛ 13. Utilice una sustitución y
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Solución Elijamos f(x) x y g(x)
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☛ 16. Determine x 3 e x2 dx [Sug
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Integración por partes: f(x)g(x)
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2x) 1/2 . Determine la productivida
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U′(34.15) 0 A la izquierda de es
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16-1 ÁREAS BAJO CURVAS En esta sec
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y y f (x ) A 0 a b x FIGURA 1 a x
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☛ 5. La función de ingreso margi
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y asimismo a b f(x) dx F(x) a b
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(1-26) Evalúe las siguientes integ
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F(a), o bien, b a g(x) dx [F(b) F
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☛ 8. Determine el área entre el
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y 0 2 1 1 2 x 2 y x 2 8 4 6 y x
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☛ 12. Haga un bosquejo del área
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13. y e x , y x 2 ; x 0, x 1 14
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L 2 1 x 1 5 1 x 2 x 0 16 1
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Maximización de la utilidad con re
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con este método, el valor presente
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p SC Curva de oferta p 0 SP Curva d
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espectivamente, en donde el tiempo
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Si f(x) 0 en el intervalo [a, b],
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fórmula T(t) 13 3t 1 3 6 t 2
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Es intuitivamente claro que tendrem
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TABLA 2 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3
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x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 b) La r
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DEFINICIÓN Se dice que una funció
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espondiendo a 1900. Suponga que est
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A A(t t) - A(t) rA(t) t en donde
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17. dy/dt 2y 0; y 1 cuando t 1
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podemos utilizar este método en ve
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te restringido, pero se han encontr
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ya que se da p k/m 0.25/m. Separa
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tinuos de un intervalo dado. Por ej
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1 y y f (x) 1 y (2x 3) 4 y f (x
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ya que e d/200 → 0 cuando d → q
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y y f (x ) x FIGURA 28 la curva c
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23. (Distribución uniforme) El pes
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2. Demuestre que ab 1 dt b 1 22.
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CASO DE ESTUDIO UN PROBLEMA DE INVE
Page 734 and 735: CAPÍTULO 17 Funciones de varias va
Page 736 and 737: ☛ 1. Si f(x, y) ln (x y) x y
Page 738 and 739: D {(x, y, z)⏐x 2 y 2 9, x z
Page 740 and 741: ☛ 4. Dibuje curvas de nivel para
Page 742 and 743: ☛ 5. Para la función z x 2 - xy
Page 744 and 745: 3. f(x, t) x t 1 x 2 ; (x, t)
Page 746 and 747: z f(x x, y) f(x, y) lím x x
Page 748 and 749: No necesitamos aplicar la fórmula
Page 750 and 751: ☛ 8. Calcule z x , z xx y z xxy p
Page 752 and 753: 46. (Microbiología) En el proceso
Page 754 and 755: las productividades marginales son
Page 756 and 757: ☛ 12. Dos productos A y B tienen
Page 758 and 759: ☛ 14. El ingreso, R, de una compa
Page 760 and 761: 17-4 OPTIMIZACIÓN En el capítulo
Page 762 and 763: ☛ 16. Sea f(x, y) (x y) 2 2(x
Page 764 and 765: Resolviendo estas dos ecuaciones, o
Page 766 and 767: por encima de 10°C y x es la canti
Page 768 and 769: Un método alternativo (que evita t
Page 770 and 771: Solución a) Aquí la función a ma
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Page 774 and 775: 19. (Inversiones) Una inversión de
Page 776 and 777: caigan sobre la línea recta, la l
Page 778 and 779: ☛ 21. Determine la ecuación para
Page 780 and 781: TABLA 6 Precio (p) 2 2.25 2.50 2.75
Page 782 and 783: z f(x, y y) f(x, y) lím y y
Page 786 and 787: CASO DE ESTUDIO DECISIÓN SOBRE PRO
Page 788 and 789: APÉNDICE I Tabla de derivadas est
Page 790 and 791: x2 1 2 11. dx (ax b) 2 a 3 a
Page 792 and 793: Integrales que contienen x 2 a 2
Page 794 and 795: Integrales diversas 1 1 79. dx
Page 796 and 797: TABLA A.3.1 Logaritmos comunes con
Page 798 and 799: TABLA A.3.2 Logaritmos naturales (c
Page 800 and 801: TABLA A.3.3 Funciones exponenciales
Page 802 and 803: TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
Page 804 and 805: TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
Page 806 and 807: Soluciones a problemas con número
Page 808 and 809: 51. 125 minutos 23. u 1, v 3, w 5
Page 810 and 811: 7. x 2 9. 1 2 3 x 2 4 11.
Page 812 and 813: f) Falso. Si A es una matriz de n
Page 814 and 815: 27. 3 x2 4 2x3/2 29. 5p 4 6p 2
Page 816 and 817: 0.4 0.2 33. 3 3 4 pulgadas 3 3 4 p
Page 818 and 819: 19. 1 9 x 2 8x 1 21. y′ x
Page 820: i) Falso; si todas las derivadas pa
Page 823 and 824: Bebidas y conducción de automóvil
Page 825 and 826: Determinante(s), 380 definición de
Page 827 and 828: decreciente, 530-534, 541, 551-555
Page 829 and 830: Mano de obra, 743, 769 utilización
Page 831 and 832: Programación lineal, 399-440 costo
Page 833: maximización de la, con respecto a
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Matemáticas aplicadas

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