Matemáticas aplicadas

y la tangente a esta curva en x x 0
es la recta AB. La pendiente de esta recta está
dada por la derivada parcial z/x evaluada en (x 0
, y 0
). En forma análoga, la recta
CD es la tangente a la sección vertical definida por el plano x x 0
. Su pendiente es
z/y evaluada en (x 0
, y 0
).
Las derivadas parciales pueden calcularse usando, en esencia, las mismas técnicas
utilizadas en la evaluación de las derivadas ordinarias. Sólo debemos recordar
que debemos manejar cualquier variable como si fuera una constante, excepto aquélla
con respecto a la cual estamos derivando. Aparte de esto, la fórmula familiar de
la potencia, las reglas del producto y el cociente y la regla de la cadena pueden aplicarse
en forma ordinaria.
EJEMPLO 1 Calcule z/y si z x 3 5xy 2 2y 3
Solución Manejando x como una constante y derivando con respecto a y, tenemos
z
0 5x(2y) 2(3y 2 ) 10xy 6y 2
y
EJEMPLO 2 Calcule z/x si z x 2 y 2
Solución Manteniendo y fija, usamos la regla de la cadena.
z
(x 2 y 2 ) 1/2
x x
1 2
(x2 y 2 ) 1/2 (x 2 y 2 ) x
1 2 (x2 y 2 ) 1/2 (2x 0)
ya que (y 2 )/x 0 porque y 2 se mantiene constante. Por consiguiente,
z
x
x(x 2 y 2 ) 1/2 x
x 2
y 2
EJEMPLO 3 Calcule z/x y z/y si z (x 2 y 2 )/(ln x)
Solución Usando la fórmula del cociente, obtenemos
z
ln x (/x)(x
2 y 2 ) (x 2 y 2 )(/x)(ln x)
x
(ln x) 2
ln x (2x) (x 2 y 2 ) (1/x)
(ln x) 2
2x 2 ln x (x 2 y 2 )
x(ln x) 2
después de multiplicar numerador y denominador por x.
732 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES