Matemáticas aplicadas

11. f(x) x ln x; e 1 x e
12. f(x) x 1 ln x; 1 2 x 10
*13. f(x) x ln x; 0 x 0.9
14. f(x) (2x 1)e x ; 0 x q
15. (Contaminación del agua) Al depositarse en un lago, los
desperdicios orgánicos disminuyen el contenido de oxígeno
del agua. Si t denota el tiempo en días después que se
deposita el desperdicio, en un caso se encuentra experimentalmente
que el contenido de oxígeno es
y t 3 30t 2 6000
con 0 t 25. Encuentre los valores máximo y mínimo
de y durante los primeros 25 días siguientes al vaciado del
desperdicio.
16. (Costo promedio mínimo) La función de costo de un fabricante
es
C(x) 1000 5x 0.1x 2
cuando se producen x artículos por día. Si a lo más 80 artículos
pueden producirse por día, determine el valor de x
que da el costo promedio más bajo por artículo.
17. (Ingreso y utilidad máximos) El costo de producir x artículos
por semana es
C(x) 1000 6x 0.003x 2 10 6 x 3
pero no más de 3000 artículos pueden producirse por semana.
Si la ecuación de demanda es
p 12 0.0015x
encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso
y el nivel que maximiza la utilidad.
18. (Decisiones sobre producción) La función de costo en miles
de dólares es
C(x) 2 x 1 4 x2 2
1
4
x 3
en donde el nivel de producción x está en miles de unidades
por semana. La planta productiva disponible limita a
x al rango 0 x 4. Si cada artículo producido puede
venderse en $2.50, determine el nivel de producción que
maximiza.
a) El ingreso. b) La utilidad.
¿Cómo cambian sus conclusiones si la planta productiva se
incremento a x 8 con la misma función de costo
19. (Decisiones sobre producción) La ecuación de demanda
del producto de una compañía es p 200 1.5x, en donde
x unidades pueden venderse a un precio de $p cada una.
Si le cuesta a la compañía (500 + 65x) dólares producir x
unidades por semana. ¿Cuántas unidades debería producir y
vender la compañía cada semana con el objetivo de maximizar
la utilidad, si la capacidad de producción es a lo más:
a) de 60 unidades b) de 40 unidades
20. (Tiempo mínimo de reacción) En una prueba hecha a pilotos
aviadores sobre la velocidad de reacción en una crisis
simulada, se encontró que el tiempo total requerido para
reaccionar a la crisis variaba con la edad x del piloto de
acuerdo con la fórmula T 0.04(1700 80x x 2 ) 1/2 sobre
un rango de edad 30 x 55. Dentro de este rango,
¿a qué edad es el tiempo mínimo de reacción
21. (Diseño de depósito) Una compañía fabrica depósitos de
agua con capacidad de 50 pies cúbicos. La base debe ser
cuadrada. Debido a las limitaciones de almacenaje y transporte,
el tamaño de la base y la altura no deben exceder de
5 pies. Encuentre las dimensiones que minimizan la cantidad
de material utilizado (que minimizan el área de la superficie).
22. (Diseño de depósito) Repita el ejercicio 21 para el caso de
un depósito con base circular cuyo diámetro no debe exceder
5 pies.
23. (Modelo de costo de inventarios) Un minorista en computadoras
vende 30,000 modelos personales anualmente. El
costo de cada nuevo pedido es de $1200 sin importar su tamaño
y el costo de almacenaje de cada computadora es de
$2 anuales. Más aún, solamente se pueden almacenar 5000
computadoras a la vez. ¿Cuántas veces al año debe reordenar
para minimizar su costo total
24. (Fotosíntesis) Si una planta recibe una luz de intensidad x,
la razón de fotosíntesis y, medida en unidades adecuadas, se
encontró experimentalmente que estaba dada por y l50x
25x 2 para 0 x 5. Encuentre los valores máximo y
mínimo de y cuando x pertenece al intervalo 1 x 5.
*25. (Medida de población) El tamaño de cierta población de
bacterias en el tiempo t (en horas) está dado por y a (1
1 2 et ) 1 , donde a es una constante. Un biólogo planea observar
a la población durante un periodo de dos horas desde
t 0 a t 2. ¿Cuáles serán la mayor y menor razón de crecimiento
que observará
SECCIÓN 13-6 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS 575