Volumen II - SAM

Ley 1 : h
s
⎛ h ⎞ o γ
= ho
⎜ + 1 ⎟ s
⎝τ
c n ⎠
ss′
Ley 2: q + ( − q)
n−1
( ) ( ) a sat
δ h 1−
h = τ ′
1 ss′
o
donde ho es la velocidad de endurecimiento inicial y n es el exponente de endurecimiento, q es el coeficiente
sat
debido a un sistema sobre los otros (endurecimiento latente) y τ es la tensión de saturación.
Los valores macroscópicos de la velocidad de deformación D y la tensión S son obtenidos como el promedio
de los valores locales pesados por la fracción de volumen de las orientaciones cristalinas.
La aproximación original de M-K [10] supone la existencia de una imperfección o disminución local
aleatoria del espesor a través del ancho de la chapa. En el modelo modificado propuesto por Hutchinson y
Neale [21], la orientación de la imperfección se determina por un ángulo Ψ con respecto a la dirección x 1
(Fig. 3). Las componentes se calculan con respecto a las coordenadas cartesianas x i . Las cantidades dentro
de la banda o defecto se denotan por el subíndice b.
El espesor a lo largo de la sección minima de la banda
se denota por hb ( t)
, con un valor inicial h b ( 0)
. El
factor de imperfección está dado por la razón entre el
espesor dentro y fuera de la banda:
hb
( 0)
f =
h ( 0)
(6)
con h ( 0)
el espesor inicial de la chapa fuera de la
banda.
Las condiciones de equilibrio y compatibilidad tienen que ser satisfechas en la interfaz con la banda.
Siguiendo la formulación de Wu et al. [22], la condición de compatibilidad en la interfaz está dada por la
L , L
b
h
h(0)
h
hb(0)
x2
x Ψ
x´1
x´2
x
x1
x
x
Figura 3. Modelo del defecto inicial aleatorio
dentro y fuera de la banda respectivamente:
diferencia entre los gradientes de velocidad ( )
L
b
ij
ij
i
j
s
= L + c&
n
(7a)
La ecuación (7a) es descompuesta en sus partes simétrica D y anti-simétrica W :
D
W
b
ij
b
ij
= D
ij
= W
ij
+
+
1
2
1
2
( c&
i n j + ni
c&
j )
( c&
n − n c&
)
i
j
i
j
(5)
(7b-c)
Las n j son las componentes de la normal unitaria a la banda, y los i c& son parámetros a ser determinados.
Las condiciones de equilibrio requeridas en la interfaz de la banda están dadas por:
b
σ h = n σ h
(8)
ni ij b i ij
donde σ denota las tensiones de Cauchy. La condición de borde σ 0 es aplicada del siguiente modo:
σ ij ij 33
ij
33 =
= s − s δ
(9)
donde δ ij es el símbolo de Kronecker. De las ecuaciones (3b), (7), (8) y (9) se resuelve i c& substituyendo
ecuación (3b) en la forma incremental de la ecuación (8) y usando la ecuación (7b) para eliminar los
incrementos de deformación en la banda. En cada incremento de deformación, se resuelve el sistema no
* *
lineal de dos ecuaciones. El estado de deformación mínima ε 11 , ε 22 fuera de la banda para varias
inclinaciones iniciales de la misma se definen como deformaciones límites de conformado. Se considera que
se alcanza la condición de falla cuando D22 20 D22
b > .
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