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Volumen II - SAM

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donde R1 y R2 son las distancias entre primeros vecinos (NN) y segundos vecinos (NNN) en el cristal<br />

equivalente con parámetro de red C<br />

a , a partir del cual se calculan R1 y R2 [2], N y M son los<br />

i,<br />

x<br />

correspondientes números de NN y NNN, nxx es el número de NN del átomo de referencia de su misma<br />

especie y nxy es el número de NN de especie y, mxx y mxy son los correspondientes números para NNN. Los<br />

parámetros px, αx y λx representan al número cuántico principal, la densidad electrónica promedio, y el factor<br />

de apantallamiento de NNN, respectivamente [2], y las distancias r1 y r2 denotan la posición de los NN y<br />

NNN respecto del átomo de referencia en el cristal real. La solución de esta ecuación es C<br />

a , el parámetro de<br />

i,<br />

x<br />

red del cristal equivalente del átomo i de especie x. Luego, la correspondiente contribución a la energía es<br />

e<br />

C<br />

i,<br />

x<br />

C* −a<br />

x<br />

x<br />

C*<br />

i ,<br />

( ∆ ) = γ E ( 1−<br />

( 1 + a ) e )<br />

(5)<br />

yx<br />

i,<br />

x<br />

C<br />

i,<br />

x<br />

*<br />

donde γi,x =1 o -1, representando el signo del parámetro ∆yx, y donde el parámetro de red escalizado C<br />

( i,<br />

x )<br />

puede escribir en función de la solución de la ec. 4 según<br />

C*<br />

i,<br />

x<br />

C<br />

( ai,<br />

x − ae,<br />

x<br />

x<br />

a se<br />

a = q ) / l<br />

(6)<br />

donde lx es un parámetro de escalado, definido en [1], y q es una constante estructural (q = (3/16π) 1/3 para<br />

ccc). El segundo término en la ecuación que define la energía química se calcula de manera similar, pero<br />

haciendo ∆yx = 0. Según se ve en estas ecuaciones, la formulación original del método no permite tomar en<br />

cuenta las posiciones relativas de los átomos de diferentes especies, solo su número total. En lo que sigue,<br />

presentamos una simple extensión para remediar este problema. El término a la derecha en la ec. 4, puede<br />

entenderse como una descripción del ‘defecto’ químico del átomo, dx. Como tal, cada uno de los nxx primeros<br />

vecinos contribuye una misma cantidad al defecto total. Pero, en una dada aleación ordenada, cada uno de<br />

estos NN tiene a su vez un cierto número de primeros vecinos que comparte con el átomo de referencia<br />

(cuatro, en el caso de redes ccc). En su formulación original, las identidades químicas de estos átomos<br />

compartidos entre el átomo de referencia y cada uno de sus NN, es ignorada. Estos átomos, en el caso de una<br />

red ccc, están ubicados en un plano perpendicular a la línea que une el par original. Si estos átomos son<br />

ignorados, entonces habría nxx uniones puras x-x, y nxy uniones puras x-y. Esto sugiere que el término a la<br />

derecha en la ec. 4 puede reinterpretarse como una suma sobre ligaduras, con cada unión pura contribuyendo<br />

la misma cantidad al defecto total:<br />

d<br />

x<br />

=<br />

∑<br />

∑<br />

∑<br />

px<br />

−α<br />

xr1<br />

r1<br />

e +<br />

p −(<br />

α x + ∆ ) r<br />

x<br />

yx 1<br />

r1<br />

e +<br />

px<br />

−(<br />

α x + 1/<br />

λx<br />

) r2<br />

r2<br />

e +<br />

p −(<br />

α x + 1/<br />

λx<br />

+ ∆ yx ) r<br />

x<br />

2<br />

r2<br />

e<br />

xx(<br />

NN )<br />

xy(<br />

NN )<br />

xx(<br />

NNN )<br />

xy(<br />

NNN )<br />

El incluír información sobre la vecindad de cada ligadura, altera la estructura de la ligadura y por<br />

consiguiente hace que no todas las contribuciones sean iguales, ya que dependerán del orden particular de los<br />

átomos transversales, compartidos por el átomo de referencia y cada uno de sus NN. Dependiendo entonces<br />

de la distribución de los átomos transversales, diremos que una dada ligadura j tiene un contenido fraccional<br />

xx, N xx , y un cierto contenido de unión mixta xy, N xy , de manera tal que N xx +N yy = 1. De esta manera, esta<br />

última ecuación puede escribirse como una suma sobre cada unión individual j entre el átomo de referencia y<br />

cada uno de sus primeros vecinos:<br />

d<br />

xx p −α<br />

( )<br />

xr1<br />

xy p − α x x + ∆ yx<br />

= ∑(<br />

N j r1<br />

e + N j r1<br />

e ) + ∑(<br />

M<br />

*<br />

x<br />

x xx p ( 1/<br />

)<br />

( 1/<br />

)<br />

x − α x + λx<br />

r1<br />

xy p − α x x + λx<br />

+ ∆ yx<br />

j r2<br />

e + M j r2<br />

e<br />

j(<br />

NN )<br />

j(<br />

NNN )<br />

A diferencia de la expresión original para dx, esta última ecuación indica que cada ligadura puede contribuir<br />

cantidades diferentes al defecto químico total, dependiendo de los contenidos xx y xy de cada unión entre el<br />

átomo de referencia y cada uno de los NN y NNN, lo cual puede representarse por diagramas que incluyan el<br />

par de átomos y sus correspondientes átomos transversales.<br />

1212<br />

∑<br />

)<br />

(7)<br />

(8)

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