Volumen II - SAM

donde R1 y R2 son las distancias entre primeros vecinos (NN) y segundos vecinos (NNN) en el cristal
equivalente con parámetro de red C
a , a partir del cual se calculan R1 y R2 [2], N y M son los
i,
x
correspondientes números de NN y NNN, nxx es el número de NN del átomo de referencia de su misma
especie y nxy es el número de NN de especie y, mxx y mxy son los correspondientes números para NNN. Los
parámetros px, αx y λx representan al número cuántico principal, la densidad electrónica promedio, y el factor
de apantallamiento de NNN, respectivamente [2], y las distancias r1 y r2 denotan la posición de los NN y
NNN respecto del átomo de referencia en el cristal real. La solución de esta ecuación es C
a , el parámetro de
i,
x
red del cristal equivalente del átomo i de especie x. Luego, la correspondiente contribución a la energía es
e
C
i,
x
C* −a
x
x
C*
i ,
( ∆ ) = γ E ( 1−
( 1 + a ) e )
(5)
yx
i,
x
C
i,
x
*
donde γi,x =1 o -1, representando el signo del parámetro ∆yx, y donde el parámetro de red escalizado C
( i,
x )
puede escribir en función de la solución de la ec. 4 según
C*
i,
x
C
( ai,
x − ae,
x
x
a se
a = q ) / l
(6)
donde lx es un parámetro de escalado, definido en [1], y q es una constante estructural (q = (3/16π) 1/3 para
ccc). El segundo término en la ecuación que define la energía química se calcula de manera similar, pero
haciendo ∆yx = 0. Según se ve en estas ecuaciones, la formulación original del método no permite tomar en
cuenta las posiciones relativas de los átomos de diferentes especies, solo su número total. En lo que sigue,
presentamos una simple extensión para remediar este problema. El término a la derecha en la ec. 4, puede
entenderse como una descripción del ‘defecto’ químico del átomo, dx. Como tal, cada uno de los nxx primeros
vecinos contribuye una misma cantidad al defecto total. Pero, en una dada aleación ordenada, cada uno de
estos NN tiene a su vez un cierto número de primeros vecinos que comparte con el átomo de referencia
(cuatro, en el caso de redes ccc). En su formulación original, las identidades químicas de estos átomos
compartidos entre el átomo de referencia y cada uno de sus NN, es ignorada. Estos átomos, en el caso de una
red ccc, están ubicados en un plano perpendicular a la línea que une el par original. Si estos átomos son
ignorados, entonces habría nxx uniones puras x-x, y nxy uniones puras x-y. Esto sugiere que el término a la
derecha en la ec. 4 puede reinterpretarse como una suma sobre ligaduras, con cada unión pura contribuyendo
la misma cantidad al defecto total:
d
x
=
∑
∑
∑
px
−α
xr1
r1
e +
p −(
α x + ∆ ) r
x
yx 1
r1
e +
px
−(
α x + 1/
λx
) r2
r2
e +
p −(
α x + 1/
λx
+ ∆ yx ) r
x
2
r2
e
xx(
NN )
xy(
NN )
xx(
NNN )
xy(
NNN )
El incluír información sobre la vecindad de cada ligadura, altera la estructura de la ligadura y por
consiguiente hace que no todas las contribuciones sean iguales, ya que dependerán del orden particular de los
átomos transversales, compartidos por el átomo de referencia y cada uno de sus NN. Dependiendo entonces
de la distribución de los átomos transversales, diremos que una dada ligadura j tiene un contenido fraccional
xx, N xx , y un cierto contenido de unión mixta xy, N xy , de manera tal que N xx +N yy = 1. De esta manera, esta
última ecuación puede escribirse como una suma sobre cada unión individual j entre el átomo de referencia y
cada uno de sus primeros vecinos:
d
xx p −α
( )
xr1
xy p − α x x + ∆ yx
= ∑(
N j r1
e + N j r1
e ) + ∑(
M
*
x
x xx p ( 1/
)
( 1/
)
x − α x + λx
r1
xy p − α x x + λx
+ ∆ yx
j r2
e + M j r2
e
j(
NN )
j(
NNN )
A diferencia de la expresión original para dx, esta última ecuación indica que cada ligadura puede contribuir
cantidades diferentes al defecto químico total, dependiendo de los contenidos xx y xy de cada unión entre el
átomo de referencia y cada uno de los NN y NNN, lo cual puede representarse por diagramas que incluyan el
par de átomos y sus correspondientes átomos transversales.
1212
∑
)
(7)
(8)