Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

T
84 Capítulo 2: Límites y continuidad
de h cercanos a cero, digamos h = 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001,
0.00001 y 0.000001.
c. De acuerdo con su tabla, ¿cuál es la razón de cambio de g(x)
respecto de x en x = 1?
d. Calcule el límite cuando h se aproxima a cero de la razón de
cambio promedio de g(x) respecto a x en el intervalo [1, 1 + h].
40. Sea ƒstd = 1>t para t Z 0.
a. Encuentre la razón de cambio promedio de f respecto a t en
los intervalos (i) de t = 2 a t = 3, y (ii) de t = 2 a t = T.
b. Haga una tabla de valores de la razón de cambio promedio de
f respecto a t en el intervalo [2, T] para algunos valores de T
cercanos a 2, digamos T = 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2.00001 y
2.000001.
c. De acuerdo con su tabla, ¿cuál es la razón de cambio de f respecto
a t en t = 2?
d. Calcule el límite conforme T se aproxima a 2 de la razón de
cambio promedio de f respecto a t en el intervalo de 2 a T.
2.2
ENSAYO HISTÓRICO*
Límites
Para sustituir T = 2 tendrá que realizar algunas operaciones
algebraicas.
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
Estimaciones de límites mediante gráficas
En los ejercicios 41 a 46, use un software matemático para realizar los
pasos siguientes:
a. Grafique la función al aproximarse al punto x0. b. Deduzca el valor del límite a partir de su gráfica.
41. lím
42.
x:2 x4 - 16
x - 2
43. lím
44.
x:0 23 1 + x - 1
x
1 - cos x
45. lím x sen x
46. lím
Cálculo de límites mediante las leyes de los límites
x:0
lím
x: -1 x3 - x2 - 5x - 3
sx + 1d 2
lím
x:3
x:0
x2 - 9
2x 2 + 7 - 4
2x 2
3 - 3 cos x
En la sección 2.1 usamos gráficas y calculadoras para averiguar los valores de los límites. En
esta sección se presentan los teoremas para calcular límites. Los primeros tres de ellos nos
permiten llegar a los resultados del ejemplo 8 de la sección anterior, determinando límites
de funciones polinomiales, funciones racionales y potencias. El cuarto y el quinto nos preparan
para cálculos que se harán más adelante en el texto.
Las leyes de los límites
El teorema siguiente nos indica cómo calcular límites de funciones que son combinaciones
aritméticas de otras cuyos límites ya se conocen.
TEOREMA 1 Leyes de los límites
Si L, M, c y k son números reales y
lím ƒsxd = L y lím gsxd = M, entonces
x:c x:c
1. Regla de la suma:
El límite de la suma de dos funciones es la suma de sus límites.
2. Regla de la diferencia:
El límite de la diferencia de dos funciones es la diferencia de sus límites.
3. Regla del producto:
lím
x:c
El límite del producto de dos funciones es el producto de sus límites.
sƒsxd límsƒsxd
+ gsxdd = L + M
x:c
límsƒsxd
- gsxdd = L - M
x:c
# gsxdd = L # M
*Para aprender más acerca de las figuras históricas y del desarrollo de los elementos y temas principales
del cálculo, visite www.aw-bc.com/thomas.