Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

0
y
a
S
x k1 xk
FIGURA 6.3 Una placa delgada
representativa en el sólido S.
b
x
6.1 Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación alrededor de un eje 397
0
y
a
S
x
Dividimos [a, b] en subintervalos de ancho (longitud) y partimos el sólido, como
si fuese una hogaza de pan, en planos perpendiculares al eje x en los puntos de la partición
Los planos Pxk perpendiculares al eje x en los puntos de la
partición, dividen S en placas delgadas (como finas rebanadas de una hogaza de pan). Una
placa representativa se muestra en la figura 6.3. Aproximamos el volumen de la placa entre
el plano en xk - 1 y el plano xk mediante un sólido cilíndrico con base de área Asxkd y altura
¢xk = xk - xk (figura 6.4). El volumen de este sólido cilíndrico es Asxkd # - 1
Vk
¢xk,
que es aproximadamente el mismo volumen que el de la placa:
,
a = x0 6 x1 6 Á ¢xk
6 xn = b.
Volumen de la k–ésima placa L Vk = Asxkd ¢xk.
Por lo tanto, el volumen V del sólido completo S se aproxima a partir de la suma de estos
volúmenes cilíndricos,
n n
V L a Vk = a Asxkd ¢xk.
k = 1 k = 1
Sección transversal R(x)
con área A(x).
FIGURA 6.1 Una sección transversal del
sólido S, formada por la intersección de S con
un plano P x perpendicular al eje x, y que pasa
por el punto x en el intervalo [a, b].
A área de la base
Región del plano cuya
área conocemos
Ésta es una suma de Riemann para la función A(x) en [a, b]. Es de esperar que las aproximaciones
dadas por estas sumas mejoren conforme la norma de la partición de [a, b] tienda
a cero, de modo que definimos el volumen del sólido S como la integral definida límite
de las sumas de Riemann.
P x
b
Sólido cilíndrico con base en la región
Volumen = área de la base × altura = Ah
x
h altura
FIGURA 6.2 El volumen de un sólido cilíndrico siempre se define
como el área de su base por su altura.