Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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4 Capítulo 1: Preliminares TABLA 1.1 Tipos de intervalos Descripción Notación del conjunto Tipo Figura Finito: (a, b) 5x ƒ a 6 x 6 b6 Abierto [a, b] 5x ƒ a … x … b6 Cerrado [a, b) 5x ƒ a … x 6 b6 Semiabierto (a, b] 5x ƒ a 6 x … b6 Semiabierto Infinito: sa, q d 5x ƒ x 7 a6 Abierto – 3 7 0 0 0 1 [a, q d s - q, bd s - q, b] s - q, q d 1 4 (a) (b) (c) 1 11 5 FIGURA 1.1 Conjuntos solución para las desigualdades del ejemplo 1. x x x EJEMPLO 1 Resolver las siguientes desigualdades y mostrar su solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo y en forma gráfica. x (a) 2x - 1 6 x + 3 (b) - 6 2x + 1 (c) 3 Solución (a) (b) 5x ƒ x Ú a6 5x ƒ x 6 b6 2x - 1 6 x + 3 Sumar 1 en ambos lados. Restar x en ambos lados. El conjunto solución es el intervalo abierto s - q, 4d (figura 1.1a). - x 3 -x 6 6x + 3 -3 6 7x - 3 7 Cerrado Abierto 5x ƒ x … b6 Cerrado (conjunto de todos Ambos los números reales) abierto y cerrado 2x 6 x + 4 x 6 4 6 2x + 1 0 6 7x + 3 6 x Multiplicar por 3 ambos lados. Sumar x en ambos lados. Restar 3 en ambos lados. Dividir entre 7. a b a b a b a a a 6 x - 1 Ú 5 b b b
–5 5 3 –5 0 3 4 1 1 4 3 1 4 FIGURA 1.2 Los valores absolutos indican las distancias entre los puntos de la recta numérica. El conjunto solución es el intervalo abierto s -3>7, q d (figura 1.1b). (c) La desigualdad 6>sx - 1d Ú 5 puede satisfacerse solamente si x 7 1, ya que en cualquier otro caso 6>sx - 1d no está definido o es negativo. Así, sx - 1d es positivo y la desigualdad no se altera si multiplicamos ambos lados por sx - 1d, y tenemos que 6 x - 1 11 Ú 5x 11 5 Ú 5 6 Ú 5x - 5 Ú x. Multiplicar ambos lados por sx - 1d. Sumar 5 en ambos lados. El conjunto solución es el intervalo semiabierto (1, 11>5] (figura 1.1c). Valor absoluto El valor absoluto de un número x, denotado por ƒ x ƒ, se define como ƒ x ƒ = e EJEMPLO 2 Encontrar los valores absolutos 1.1 Los números reales y la recta real 5 O x … 11 5 . x, x Ú 0 -x, x 6 0. ƒ 3 ƒ = 3, ƒ 0 ƒ = 0, ƒ -5 ƒ = -s-5d = 5, ƒ - ƒ a ƒ ƒ = ƒ a ƒ Geométricamente, el valor absoluto de x es la distancia de x a 0 sobre la recta real. Como las distancias siempre son positivas o 0, si vemos que ƒ x ƒ Ú 0 para todo número real x, y ƒ x ƒ = 0 si y sólo si x = 0. También ƒ x - y ƒ = es igual a la distancia entre x y y la distancia entre x y y sobre la recta real (figura 1.2). Como el símbolo denota siempre la raíz cuadrada no negativa de a, una definición alternativa de es ƒ x ƒ = 2x 2 2a ƒ x ƒ . Es importante recordar que No se puede escribir 2a a menos que sepamos de antemano que a Ú 0. El valor absoluto tiene las propiedades siguientes. (Se le pedirá que pruebe estas propiedades en los ejercicios). 2 2a = a 2 = ƒ a ƒ. Propiedades del valor absoluto 1. Un número y su inverso aditivo o negativo tienen el mismo valor absoluto. 2. El valor absoluto de un producto es el producto de 3. ` los valores absolutos. El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos. 4. ƒ a + b ƒ … ƒ a ƒ + ƒ b ƒ La desigualdad triangular. El valor absoluto de la suma de dos números es menor o igual que la suma de sus valores absolutos. a b ` = ƒ ƒ -a ƒ = ƒ a ƒ ƒ ab ƒ = ƒ a ƒ ƒ b ƒ a ƒ ƒ b ƒ
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Transformaciones de las gráficas t
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Desde el punto de vista geométrico
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Es fácil convencernos de que las p
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k k k y 0 x0 x0 x0 y k FIG
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¿A qué se debe que sea correcto s
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1 O y u 1 cos u Q ⎧ ⎪ ⎪ ⎪
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4 3 2 1 y 1 x y 1 0 1 1 2 3 4 FIGU
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2 1 y 5 0 5 10 1 2 y 5x2 8x 3 3x
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2.5 B y Límites infinitos y asínt
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B 0 y x 0 y f(x) x 0 d x 0 d FIG
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Asíntota vertical x 2 4 3 2 y 8 7
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Creación de gráficas a partir de
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2 y y 4 x 2 2 0 2 FIGURA 2.52 Una
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0 y y 1 x FIGURA 2.56 La función
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0.4 0.3 0.2 0.1 2p p p 0 y 2p FIGUR
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3 2 1 0 y 1 2 3 4 FIGURA 2.61 La fu
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O P FIGURA 2.63 L es tangente al c
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No habiendo tangente vertical en x
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h (b) r 6 cm Volumen del líquido
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3.1 ENSAYO HISTÓRICO La derivada C
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Muchas veces es necesario conocer l
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1 0 y y U(x) FIGURA 3.7 La funció
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EXPLORACIONES CON COMPUTADORA Use u
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Automóvil Cámara 132' 33. Una cap
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Una aproximación lineal importante
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Capítulo 3 Preguntas de repaso 1.
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. Encuentre los valores para b y c
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Mínimo absoluto No hay un valor me
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. Use el teorema de Rolle para prob
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y c(x) x 3 6x 2 15x r(x) 9x 0 2
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38. Dos masas cuelgan de igual núm
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Precaución Para aplicar la regla d
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Regla de Leibniz En las aplicacione
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Densidad La densidad de la materia
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Cómo determinar el centro de masa
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d y c 0 y L(y) FIGURA 6.54 La regi
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Determinación de áreas de superfi
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c. Demuestre que el área de la sup
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389 pies Cuarto de circunferencia d
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9. Ascensión del cable de un eleva
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28. Golf Una pelota de golf de 1.6
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y a y Superficie del fluido Placa v
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EJERCICIOS 6.7 En los ejercicios si
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a. Determine la fuerza del fluido c
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27. Determine el centroide de una p
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0 12. En los puntos de la circunfer
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7.1 Funciones inversas y sus deriva
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El proceso de pasar de f a f -1 pue
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y y f(x) b f(a) (a, b) 0 a x 7.1
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EJERCICIOS 7.1 Identificación grá
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Teoría y aplicaciones 45. Si f(x)
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TABLA 7.1 Valores comunes de ln x,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA John Napier (
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1 y 1 2 0 y 1 x 1 2 FIGURA 7.10 El
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EJEMPLO 5 L0 p>6 tan 2x dx = L0 Dif
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Diferenciación logarítmica En los
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Números trascendentes y funciones
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7.3 La función exponencial 489 El
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Utilizamos la condición inicial y(
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EJERCICIOS 7.3 7.3 La función expo
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. Demuestre, haciendo referencia a
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y 2 1 0 1 2 y 2 x y x y log 2x F
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Casi todos los alimentos son ácido
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1 49. 50. 5 L -u 2 du L0 -u du 22 5
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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Para el gas radón 222, t se mide e
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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a. Si t representa el tiempo, en a
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22. Una viga a temperatura desconoc
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(c) x 2 crece más rápido que ln x
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EJERCICIOS 7.6 1. ¿Cuáles de las
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Algoritmos y búsquedas 23. a. Supo
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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x 23>2 22>2 12 > -1>2 - 22>2 - 23>2
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x 23 1 23>3 - 23>3 -1 - 23 3 5 2 t
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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EJEMPLO 9 Uso de la fórmula d dx s
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(b) (c) EJEMPLO 12 Uso de la sustit
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Valores de funciones trigonométric
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126. La región que está entre la
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7.8 Funciones hiperbólicas 7.8 Fun
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7.8 Funciones hiperbólicas 537 Las
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TABLA 7.9 Identidades para las func
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7.8 Funciones hiperbólicas 541 Sol
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11. Utilice las identidades senh sx
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1 a y 0 b s 81. Volumen Una región
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5. ¿Qué es la función logaritmo
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99. ¿Verdadero o falso? Justifique
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17. Utilice la figura siguiente par
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8.1 Capítulo 8 TÉCNICAS DE INTEGR
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Solución EJEMPLO 2 Completar el cu
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA George David
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dx dx 7. 8. L 1x s 1x + 1d L x - 1x
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8.2 Integración por partes Como y
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tenemos cuatro posibles opciones: 1
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1 0.5 -1 0 -0.5 -1 y y xe -x 1 2 3
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Los ejercicios adicionales, al fina
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Sustitución e integración por par
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8.3 Integración de funciones racio
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Hay varias formas de resolver el si
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Sustituimos estos valores en la ecu
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EJEMPLO 7 Integración con el méto
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EJERCICIOS 8.3 8.3 Integración de
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c. Grafique la función y = para 0
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Para el término que incluye a cos
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EJERCICIOS 8.4 y Productos de senos
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x tan a -1 -1 -1 2 - 2 2 - 2
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5x 25x 2 4 2 FIGURA 8.6 Si entonc
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EJERCICIOS 8.5 Sustituciones trigon
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8.6 8.6 Tablas de integrales y sist
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Solución Utilizamos la fórmula 99
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Con n = 3 y a = 1, tenemos El resul
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También se puede hallar la integra
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Sustitución y tablas de integrales
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111. a. Utilice un software matemá
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y y x 2 1 0 1 25 16 5 4 36 16 6 4
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2 1 y y x sen x 0 1 2 FIGURA 8.12
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Thomas Simpso
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gular no podemos determinar el valo
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146 pies 122 pies 76 pies 54 pies 4
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28. Abastecimiento de un estanque d
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Utilice las funciones Trace o Zoom
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Área de una superficie Determine,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Lejeune Diric
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1 0 y a y 1 x Área 2 2a 1 FIGUR
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Solución L2 q x + 3 sx - 1dsx 2 dx
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1 y y e -x2 (1, e -1 ) 0 1 b y e
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1 0 y y 1 1 x 2 1 y 1 x 2 FIGURA
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EJERCICIOS 8.8 Evaluación de integ
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T a. Dibuje la gráfica de f. Deter
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43. 44. L sen3 u cos2 u sen3 du u d
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Integrales impropias Evalúe las in
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T 24. Determinación de un volumen
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o ≠sxd L a x e b x 2p A x e 1>s12
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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FIGURA 9.4 La razón a la que sale
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-4 -4 -4 19. y¿ =x + y 20. y¿ =y
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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i I V R I e 0 L R L 2 R i (1 eRt
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EJERCICIOS 9.2 Ecuaciones lineales
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31. Constantes de tiempo Al número
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Después se calculan las aproximaci
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Carl Runge (1
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Exploración gráfica de ecuaciones
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2 y 1 2 0 -1 y' 0 y'' 0 y' 0 y''
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F r ky m F p mg y positiva y 0 F
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EJERCICIOS 9.4 Líneas de fase y cu
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9.5 9.5 Aplicaciones de ecuaciones
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6000 5000 P Población mundial (198
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M 100 50 0 P FIGURA 9.25 Un campo
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Trayectoria ortogonal FIGURA 9.28 U
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TABLA 9.8 Datos del patinaje de Kel
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T 34. Euler: En los ejercicios 35 y
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RESPUESTAS CAPÍTULO 1 Sección 1.1
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7. (a) No es una función de x, ya
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9. (a) ƒ(g(x)) (b) j(g(x)) (c) g(g
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7. cos x = -4>5, tan x = -3>4 9. 11
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37. 39. 41. (a) (b) m = 1059.14; é
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11. (a) ƒsxd = sx 2 - 9d>sx + 3d x
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35. 37. 4 y = x = x + 1 - 2 - 4 3 x
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Ejercicios adicionales y avanzados,
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(c) El cuerpo cambia de dirección
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55. (a) y = 2px - 2p, (b) 57. Punto
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121. 123. dS = prh0 2r 125. (a) 4%
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La función ƒsxd = x tiene un punt
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17. y 19. 21. y 23. Máx loc (0, 0)
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91. (b) de manera positiva si k 6 0
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87. y = 2x 89. 3>2 - 50 91. 93. (a)
Page 733 and 734:
7. Todas ellas 9. b 11. 13. a k = 1
Page 735 and 736:
Ejercicios prácticos, páginas 388
Page 737 and 738:
Ejercicios de práctica, páginas 4
Page 739 and 740:
13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.
Page 741 and 742:
Capítulo 8: Respuestas R-39 ƒ ƒ
Page 743 and 744:
Capítulo 8: Respuestas R-41 17. 19
Page 745 and 746:
71. 1 2 Az2z2 + 1 + ln ƒ z + 2z 2
Page 747 and 748:
3. 5. (b) (c) y¿ =y 3 - y = s y +
Page 749:
Ejercicios prácticos, páginas 682
Page 752 and 753:
I-2 Índice Calculadoras, graficaci
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I-4 Índice Desplazamiento, 172, 17
Page 756 and 757:
I-6 Índice implícitamente, 205-20
Page 758 and 759:
I-8 Índice Leyes de los exponentes
Page 760 and 761:
I-10 Índice Problema de primer ord
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I-12 Índice en integrales múltipl
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Fórmulas para Grad, Div, Espiral y
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Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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