Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

296 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
Recuerde que q
mismo.
y + q significan lo
La regla de L’Hôpital también se aplica a límites unilaterales, lo cual resulta claro a partir
de la demostración del teorema 7.
EJEMPLO 4 Uso de la regla de L’Hôpital con límites unilaterales
(a)
(b)
Positivo para x 7 0.
Negativo para x 6 0.
Formas indeterminadas ˆ> ˆ, ˆ # 0, ˆ ˆ
Algunas veces cuando intentamos evaluar un límite cuando x : a sustituyendo x = a ,
obtenemos una expresión ambigua como q> q, q # 0, o q - q , en lugar de 0>0.
Consideremos primero la forma q> q .
En libros más avanzados se prueba la regla de L’Hôpital aplicada a la forma indeterminada
q> q , así como a 0>0.
Si ƒsxd : ; q y gsxd : ; q cuando x : a, entonces
siempre y cuando el límite de la derecha exista. En la notación puede ser finito o
infinito. Más aún,
x : a
puede reemplazarse por los límites unilaterales o
- .
x : a +
x : a, a
x : a
EJEMPLO 5 Trabajo con la forma indeterminada q> q
Encontrar
(a)
(b)
sen x
lím+
x:0 x2 sen x
lím-
x:0 x2 lím
x:p>2
lím
x: q
Solución
(a) El numerador y el denominador son discontinuos en x = p>2, de manera que investigamos
los límites unilaterales ahí. Para aplicar la regla de L’Hôpital, podemos escoger
como I cualquier intervalo abierto con x = p>2 como uno de sus extremos.
lím
x:sp>2d- sec x
1 + tan x
por la izquierda
El limite lateral derecho también es 1, con s - q d>s - q d como la forma indeterminada.
Por lo tanto, el límite bilateral es igual a 1.
(b) lím
x: q
cos x
= lím+
x:0 2x = q
cos x
= lím-
x:0 2x
sec x
1 + tan x
x - 2x2
3x 2 + 5x
x - 2x2
3x 2 + 5x
sec x tan x
= lím - x:sp>2d sec2 x
= lím
x: q
= -q
q
q
lím
x:a ƒsxd
gsxd
1 - 4x
6x + 5
0
0
0
0
= lím
x:a ƒ¿sxd
g¿sxd
= lím sen x = 1
- x:sp>2d
= lím
x: q -4
6 =-2
3 .