Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

198 Capítulo 3: Derivadas
Fórmula paramétrica para dy/dx
Si existen las tres derivadas y dx>dt Z 0,
EJEMPLO 12 Diferenciación con un parámetro
Si y y = t encontrar el valor de dy>dx en t = 6.
2 x = 2t + 3 - 1,
Solución La ecuación (2) da dyNdx como una función de t:
dy
dx
= dy>dt
dx>dt
Cuando t = 6, dyNdx = 6. Observe que también podemos encontrar la derivada dyNdx como
una función de x.
EJEMPLO 13 Movimiento a lo largo de la elipse x2 >a2 + y2 >b2 = 1
Describir el movimiento de una partícula cuya posición P(x, y) en el tiempo t está dada por
x = a cos t, y = b sen t, 0 … t … 2p.
Encontrar la recta tangente a la curva en el punto Aa> 22, b> 22B , donde t = p>4. (Ambas
constantes, a y b, son positivas.)
Solución Encontramos la ecuación cartesiana para las coordenadas de la partícula eliminando
t de las ecuaciones
cos t = x a , sen t = y
b .
La identidad cos nos lleva a
2 t + sen2 t = 1,
a x a b
2
+ a y
b b
2
Las coordenadas de la partícula (x, y) satisfacen la ecuación (x 2 Na 2 ) + (y 2 Nb 2 ) = 1, de manera
que la partícula se mueve a lo largo de la elipse. Cuando t = 0, las coordenadas de la
partícula son
x = a coss0d = a, y = b sens0d = 0,
así que el recorrido empieza en (a, 0). Conforme t crece, la partícula sube y se mueve
hacia la izquierda, siguiendo una trayectoria en sentido contrario al movimiento de las manecillas
del reloj. Recorre la elipse una vez, regresando a su punto inicial (a, 0) en t = 2p.
La pendiente de la recta tangente a la elipse cuando t = p>4 es
dy
dx ` t = p>4
dy
dx
= dy>dt
dx>dt .
= 2t
2
= t = x - 3
2
= 1, o x2
a
= dy>dt
dx>dt ` t = p>4
2 + y2
= b> 22
-a> 22 =-b a .
= b cos t
-a sen t ` t = p>4
.
= 1. 2 b
(2)