Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

490 Capítulo 7: Funciones trascendentes
Si u es cualquier función diferenciable de x, entonces
EJEMPLO 6 Aplicación de la regla de la cadena con exponenciales
d
(a) Ecuación (6) con u = -x
dx e -x -x d
= e
dx s -xd = e -xs -1d = -e-x d
(b) Ecuación (6) con u = sen x
dx esen x sen x d
= e
dx ssen xd = esen x # cos x
La integral equivalente a la ecuación (6) es
EJEMPLO 7 Integración de exponenciales
(a)
L0
ln 2
e3x dx =
L0
ln 8
= 1
3L0 ln 8
= 1
3 eu ln 8
d
0
= 1
7
s8 - 1d =
3 3
d
dx eu u du
= e
dx .
L eu du = e u + C.
p>2
(b)
L0
e Antiderivada del ejemplo 6.
sen x cos x dx = esen x p>2
d
0
= e 1 - e 0 = e - 1
EJEMPLO 8 Resolución de un problema con valor inicial
Resolver el problema con valor inicial
dy y
e
dx
e u # 1
3 du
e u du
usln 2d = 3 ln 2 = ln 2 3 u = 3x,
= ln 8
1
du = dx, us0d = 0,
3
= 2x, x 7 23; ys2d = 0.
Solución Integramos ambos lados de la ecuación diferencial con respecto de x para
obtener
e y = x 2 + C.
(6)