Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

EJEMPLO 2 Uso de diferentes valores iniciales de índices
Expresar la suma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 en notación sigma.
Solución La fórmula que genera los términos cambia según el límite inferior de la sumatoria,
pero los términos generados son los mismos. Suele ser más sencillo empezar con
k = 0 o k = 1.
4
Empezando con k = 0: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = a s2k + 1d
k = 0
5
Empezando con k = 1: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = a s2k - 1d
k = 1
6
Empezando con k = 2: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = a s2k - 3d
k = 2
1
Empezando con k = -3: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = a s2k + 7d
k =-3
Cuando tenemos una suma como
podemos reacomodar sus términos,
3
a sk + k 2d = s1 + 12d + s2 + 22d + s3 + 32d k = 1
Esto ilustra una regla general para sumas finitas:
n
a sak + bkd = a ak + a
k = 1
= s1 + 2 + 3d + s1 2 + 2 2 + 3 2 d
3
= a
k = 1
5.2 Notación sigma y límites de sumas finitas 337
3
a sk + k 2d k = 1
3
k + a k
k = 1
2
Reagrupando términos.
A continuación se presentan cuatro de estas reglas. Una demostración de su validez se
puede obtener usando inducción matemática (vea el Apéndice 1).
Reglas algebraicas para sumas finitas
1. Regla de la suma:
2. Regla de la diferencia:
n
n
n
k = 1
n
bk
k = 1
a (ak + bk) = a ak + a
k = 1
n
a (ak - bk) = a ak - a
k = 1
3. Regla del múltiplo constante: a cak = c # a ak (Cualquier número c)
k = 1
n
4. Regla del valor constante: a c = n # c (c es cualquier valor constante)
k = 1
n
k = 1
n
k = 1
n
k = 1
n
bk
k = 1
n
bk
k = 1