Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

124 Capítulo 2: Límites y continuidad
Distancia de caída (m)
80
2.6
60
40
20
0
y
Q 1
Continuidad
Q 2
Q 3
Q 4
5 10
Tiempo transcurrido (seg)
FIGURA 2.49 Conecte los puntos
marcados por una curva sin rupturas para
los datos experimentales Q 1, Q 2, Q 3, ... para
un objeto cayendo.
2
1
0
y
1
Continuidad
por la derecha
2
Continuidad
bilateral
y f(x)
a c b
P
Continuidad
por la izquierda
FIGURA 2.51 Continuidad en los puntos
a, b y c.
3
y f(x)
FIGURA 2.50 La función es continua en
[0, 4], excepto en x = 1, x = 2
y x = 4
(ejemplo 1).
4
x
x
t
Cuando se dibujan los valores de una función, ya sea generados en un laboratorio o recopilados
en el campo, es frecuente que los puntos se unan mediante una curva continua
para mostrar los valores de la función en los tiempos que no se midieron (figura 2.49). Al
hacerlo, suponemos que estamos trabajando con una función continua, de manera que los
resultados varían de forma continua de acuerdo con los datos, en lugar de “saltar” de un
valor a otro sin tomar en cuenta los valores intermedios. El límite de una función continua
cuando x se aproxima a c puede encontrarse con sólo calcular el valor de la función en c.
(En la sección 2.2 concluimos que esto es válido para las funciones polinomiales).
Cualquier función y = f(x) cuya gráfica pueda trazarse sobre su dominio con un movimiento
ininterrumpido, es decir, sin levantar el lápiz de la hoja de papel, es un ejemplo de
función continua. En esta sección investigaremos con más precisión qué significa que
una función sea continua. También estudiaremos las propiedades de las funciones continuas
y veremos que muchas de las funciones presentadas en la sección 1.4 son continuas.
Continuidad en un punto
Para entender la continuidad es necesario considerar una función como la de la figura
2.50, cuyos límites investigamos en el ejemplo 2 de la sección 2.4.
EJEMPLO 1 Análisis de la continuidad
Encontrar los puntos en los que la función f de la figura 2.50 es continua, y los puntos en
los que es discontinua.
Solución La función f es continua en todos los puntos de su dominio [0, 4], excepto en
x = 1, x = 2 y x = 4. En estos puntos de la gráfica se dan rupturas. Observe la relación
entre el límite de f y el valor de f en cada punto del dominio de la función.
Puntos en los que f es continua:
Pero
Pero
x = 0,
x = 3,
Pero 0 6 c 6 4, c Z 1, 2,
Puntos en los que f es discontinua:
lím ƒsxd = ƒs0d.
+ x:0
lím ƒsxd = ƒs3d.
x:3
lím ƒsxd = ƒscd.
x:c
Pero lím no existe
x:1
Pero x = 2,
lím ƒsxd = 1, pero 1 Z ƒs2d.
ƒsxd
x = 1,
x:2
Pero x = 4,
lím ƒsxd = 1, pero 1 Z ƒs4d.
-
x:4
Pero c 6 0, c 7 4, estos puntos no están en el dominio de f
Para definir la continuidad en un punto del dominio de una función, necesitamos definir
la continuidad en un punto interior (lo cual involucra un límite bilateral) y la continuidad
en un punto extremo (lo cual involucra un límite lateral) (figura 2.51).