Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

1.1
1.0
y 1
x
2
y 1 x
0.9
–0.1 0 0.1 0.2
FIGURA 3.49 Vista amplificada de la
ventana de la figura 3.48.
EJEMPLO 1 Determinación de una linealización
3.8 Linealización y diferenciales 223
DEFINICIONES Linealización, aproximación lineal estándar
Si f es diferenciable en x = a, entonces la función de aproximación
Lsxd = ƒsad + ƒ¿sadsx - ad
es la linealización de f en a. La aproximación
ƒsxd L Lsxd
de f por L es la aproximación lineal estándar de f en a. El punto x = a es el centro
de la aproximación.
Encontrar la linealización de ƒsxd = 21 + x en x = 0 (figura 3.48).
Solución Como
–1
1
2
0
y
y 1 x
2
y 1 x
1 2 3 4
y
5
4
FIGURA 3.48 La gráfica de y = 21 + x y la
linealización en x = 0 y x = 3. La figura 3.49 muestra una
vista amplificada de una ventana pequeña alrededor de 1 en
el eje y.
tenemos ƒs0d = 1 y ƒ¿s0d = 1>2, de donde la linealización es
Vea la figura 3.49.
ƒ¿sxd = 1
2 A1 + xB -1>2 ,
Lsxd = ƒsad + ƒ¿sadsx - ad = 1 + 1
x
Ax - 0B = 1 +
2 2 .
Vea qué precisa es la aproximación 21 + x L 1 + sx>2d del ejemplo 1 para valores
de x cercanos a 0.
Cuando nos alejamos del cero, perdemos exactitud. Por ejemplo, para x = 2, la linealización
da 2 como la aproximación de 23, que ni siquiera es exacta en el primer lugar
decimal.
No se deje engañar por los cálculos anteriores, pensando que cualquier cosa que hagamos
con una linealización se logra mejor con una calculadora. En la práctica, nunca usaremos
linealización para encontrar una raíz cuadrada. La utilidad de la linealización radica
en su habilidad para reemplazar una fórmula complicada por una más sencilla en todo un
intervalo de valores. Si tenemos que trabajar con 21 + x para x cercanos a 0 y podemos
tolerar el pequeño error involucrado, podemos trabajar en su lugar con 1 + sx>2d.
Por su-
x
4
x