Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

y
c(x) x 3 6x 2 15x
r(x) 9x
0 2 2 2 2 2
NO ESTÁ A ESCALA
Máximo
para la ganancia
Máximo local para la pérdida
FIGURA 4.40 Las curvas de costo e
ingreso para el ejemplo 5.
x
Por lo tanto,
4.5 Problemas de optimización aplicados 283
En un nivel de producción que genere una utilidad máxima, el ingreso marginal
es igual al costo marginal (figura 4.39).
Dólares
0
y
Punto de
equilibrio
EJEMPLO 5 Maximización de la utilidad
Supongamos que y csxd = x donde x representa miles de unidades.
¿Hay un nivel de producción que maximice la utilidad? De ser así, ¿cuál es?
3 - 6x2 rsxd = 9x
+ 15x,
Solución Observe que y c¿sxd = 3x2 r¿sxd = 9
- 12x + 15.
Las dos soluciones de la ecuación cuadrática son
x1 =
x2 =
Ingreso r(x)
B
Máximo local para la pérdida (mínima ganancia), c'(x) r'(x)
x
Artículos producidos
12 - 272
6
12 + 272
6
Costo c(x)
3x 2 - 12x + 15 = 9
3x 2 - 12x + 6 = 0
Máxima ganancia, c'(x) r'(x)
FIGURA 4.39 La gráfica de una función de costo típica empieza siendo cóncava hacia abajo y
después se vuelve cóncava hacia arriba. Cruza la curva de ingreso en el punto de equilibrio B. A la
izquierda de B, la compañía opera con pérdida. A la derecha, la compañía opera con ganancia,
alcanzando la máxima ganancia donde c¿sxd = r¿sxd. Más a la derecha, el costo excede el ingreso
(quizás debido a una combinación de elevación de mano de obra, costo marginal y saturación del
mercado), y los niveles de producción se vuelven nuevamente improductivos.
= 2 - 22 L 0.586 y
= 2 + 22 L 3.414.
Haga c¿sxd = r¿sxd.
Los niveles de producción que permitirían maximizar la utilidad son x ≈ 0.586 miles de
unidades, o x ≈ 3.414 miles de unidades. La segunda derivada de psxd = rsxd - csxd es
p–sxd = -c–sxd,
ya que r–sxd es cero en todas partes. En consecuencia, p–sxd = 6s2 - xd,
que es negativo en x = 2 + 22 y positivo en x = 2 - 22.
De acuerdo con la prueba de
la segunda derivada, la utilidad máxima se alcanza cerca de x = 3.414 (donde el ingreso
excede los costos), y la pérdida máxima se da cerca de x = 0.586. En la figura 4.40 se
muestra la gráfica de r(x).