Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

3.3
La derivada como razón de cambio
3.3 La derivada como razón de cambio 171
56. Resurtido de inventarios Una de las fórmulas para el manejo
de inventarios afirma que el promedio semanal del costo de encargo,
pago y manejo de mercancías es
Asqd = km q
+ cm + hq
2 ,
donde q es la cantidad que se ordena al proveedor cuando quedan
pocos productos (zapatos, radios, escobas, o cualquiera otro); k es
el costo que implica hacer el pedido (es un costo fijo, sin importar
qué tan frecuentemente se hacen pedidos); c es el costo de un artículo
(una constante); m es el número de artículos vendidos cada
semana (una constante); y h es el costo de manejo semanal por artículo
(una constante que toma en cuenta factores como el espacio
de almacenamiento, las utilidades, el pago de seguros, y vigilancia
del almacén). Encuentre y d 2 A>dq 2 dA>dq .
En la sección 2.1 iniciamos el estudio de las razones de cambio promedio e instantánea. En
esta sección continuaremos nuestro estudio, analizando aplicaciones en donde se usan las
derivadas para modelar las razones a las que cambian las cosas en nuestro mundo. Hablaremos
nuevamente del movimiento a lo largo de una recta, y examinaremos otras aplicaciones.
Es natural considerar que el cambio es aquel que se da con respecto al tiempo, pero
también otras variables pueden estar involucradas. Por ejemplo, es posible que un médico
quiera saber cómo se ve afectado el organismo al cambiar la dosis de un medicamento. Un
economista podría estar interesado en estudiar cómo el costo de producción de acero varía
con el número de toneladas producidas.
Razones de cambio instantáneas
Si interpretamos el cociente de diferencias (f(x + h) – f(x))Nh como la razón de cambio
promedio de f a lo largo del intervalo de x a x + h, podemos interpretar límite cuando
h : 0 es la razón a la que f está cambiando en el punto x.
DEFINICIÓN Razón de cambio instantánea
La razón de cambio instantánea de f con respecto a x en x 0 es la derivada
ƒ¿sx0d = lím
h:0
siempre y cuando el límite exista.
ƒsx0 + hd - ƒsx0d
,
h
Por lo tanto, las razones de cambio instantáneas son límites de las razones de cambio promedio.
Se acostumbra usar la palabra instantánea aun cuando x no represente el tiempo. Sin
embargo, tal término frecuentemente se omite. Cuando decimos razón de cambio, queremos
decir razón de cambio instantánea.