Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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586 Capítulo 8: Técnicas de integración p p>4 9. 16 sen 10. L-p>4 L 2 x cos2 x dx p>2 11. 35 sen 12. L0 L 4 x cos 3 x dx p>4 13. 8 cos 14. L0 L0 3 2u sen 2u du Integrales con raíces cuadradas Evalúe las integrales de los ejercicios 15 a 22. 2p 1 - cos x 15. dx 16. L0 A 2 L p 17. 21 - sen 18. L0 L 2 t dt p>4 19. 21 + tan 20. L-p>4 L 2 x dx p>2 21. u21 - cos 2u du 22. L0 L Potencias de tan x y sec x Evalúe las integrales de los ejercicios 23 a 32. 0 23. 24. L ex sec 3 e x 2 sec dx L-p>3 3 x dx p>4 25. sec 26. L0 L 4 u du p>2 27. csc 28. Lp>4 L 4 u du p>4 29. 4 tan 30. L0 L 3 x dx p>3 31. cot 32. Lp>6 L 3 x dx Productos de senos y cosenos Evalúe las integrales de los ejercicios 33 a 38. 0 0 p 0 p 0 p 33. sen 3x cos 2x dx 34. L-p L0 1 7. 8. 8 cos L0 4 8 sen 2px dx L0 4 x dx 35. sen 3x sen 3x dx 36. L-p L0 8.5 p 0 p>2 p 0 p/4 -p/4 p -p p>12 p>2 p>4 -p>4 p>2 p>4 p>2 8 sen 4 y cos 2 y dy sen 2x cos 2 2x dx sen 2 2u cos 3 2u du 21 - cos 2x dx 21 - cos 2 u du 2sec 2 x - 1 dx s1 - cos 2 td 3>2 dt 3 sec 4 3x dx 4 u 3 csc 2 du 6 tan 4 x dx 8 cot 4 t dt sen 2x cos 3x dx Sustituciones trigonométricas p p 37. cos 3x cos 4x dx 38. L0 L Teoría y ejemplos 39. Área de una superficie Determine el área de la superficie generada al hacer girar el arco alrededor del eje x. x = t 2>3 , y = t 2 >2, 0 … t … 2, 40. Longitud de arco Determine la longitud de la curva y = ln scos xd, 0 … x … p>3. 41. Longitud de arco Determine la longitud de la curva y = ln ssec xd, 0 … x … p>4. 42. Centro de gravedad Determine el centro de gravedad de la región acotada por el eje x, la curva y = sec x y las rectas x = -p>4, x = p>4. 43. Volumen Determine el volumen generado, al hacer girar un arco de la curva y = sen x alrededor del eje x. 44. Área Determine el área entre el eje x y la curva y = 21 + cos 4x, 0 … x … p. 45. Funciones ortogonales Se dice que dos funciones f y g son ortogonales en un intervalo si a. Demuestre que sen mx y sen nx son ortogonales en cualquier intervalo de longitud , siempre y cuando m y n sean enteros y m 2 Z n 2 1 2p . b a … x … b a ƒsxdgsxd dx = 0. b. Demuestre lo mismo para cos mx y cos nx. c. Demuestre los mismo para sen mx y cos nx, incluso si m = n. 46. Serie de Fourier Una serie finita de Fourier está dada por la suma N ƒsxd = a an sen nx n = 1 = a1 sen x + a2 sen 2x + Á + aN sen Nx Demuestre que el m-ésimo coeficiente, a m, está dado por la fórmula am = 1 p L p -p p>2 p>2 -p>2 ƒsxd sen mx dx. sen x cos x dx cos x cos 7x dx Las sustituciones trigonométricas pueden ser eficaces para transformar integrales que incluyen y 2x en integrales que podamos evaluar de manera directa. 2 - a2 2a2 + x2 2a2 - x2 ,
x tan a –1 –1 –1 2 – 2 2 – 2 0 x sen a –1 0 1 0 1 x a x sec a –1 FIGURA 8.3 Arco tangente, arco seno y arco secante de x> a, graficados como funciones de x> a. x a 2 x a Tres sustituciones básicas a 2 x 2 x a a a a 2 x2 x a tan x a sen x a sec 8.5 Sustituciones trigonométricas 587 Las sustituciones más comunes son x = a tan u, x = a sen u y x = a sec u. Provienen de los triángulos de referencia de la figura 8.2. Con x = a tan u, Con x = a sen u, Con x = a sec u, a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 u = a 2 s1 + tan 2 ud = a 2 sec 2 u. a 2 - x 2 = a 2 - a 2 sen 2 u = a 2 s1 - sen 2 ud = a 2 cos 2 u. x 2 - a 2 = a 2 sec 2 u - a 2 = a 2 ssec 2 u - 1d = a 2 tan 2 u. a 2 x 2 asec a 2 x 2 acos x 2 a 2 atan x x x 2 a 2 FIGURA 8.2 Triángulos de referencia para las tres sustituciones básicas, identificando los lados etiquetados con x y a para cada sustitución. Queremos que cualquier sustitución que utilicemos en una integración sea reversible, de manera que podamos restituirla a su variable original. Por ejemplo, si x = a tan u, deseamos poder hacer después de realizar la integración. Si x = a sen u, deseamos poder hacer u = sen cuando hayamos terminado la integración, y de manera similar para x = a sec u. Como sabemos, de acuerdo con la sección 7.7, las funciones en estas sustituciones sólo tienen inversa para ciertos valores de u (figura 8.3). Para que se pueda revertir, -1 u = tan sx>ad -1 sx>ad x = a tan u requiere u = tan -1 a x p a b con - 2 x = a sen u requiere u = sen-1 a x p a b con - 2 x = a sec u requiere u = sec-1 a x 0 … u 6 a b con d p 2 si x a Ú 1, p 2 6 u … p si x a … -1. Para simplificar los cálculos con la sustitución x = a sec u, restringiremos su uso a integrales en las que Esto colocará a u en y hará que Después tendremos 2x sin valores absolutos, siempre y cuando 2 - a2 = 2a2 tan2 x>a Ú 1. [0, p>2d tan u Ú 0. u = ƒ a tan u ƒ = a tan u, EJEMPLO 1 Uso de la sustitución x = a tan u Evaluar dx . 2 L 24 + x 6 u 6 p 2 , … u … p 2 ,
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THOMAS CÁLCULO UNA VARIABLE UNDÉC
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CÁLCULO UNA VARIABLE U N D É C I
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CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 P
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PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS
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13 Funciones con valores vectoriale
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PREFACIO INTRODUCCIÓN Al preparar
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FIGURA 6.11, página 402 Determinac
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Agradecimientos COURSECOMPASS Cours
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Agradecemos a todos los profesores
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1.1 Capítulo 1 PRELIMINARES INTROD
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Las expansiones decimales finitas r
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-5 5 3 -5 0 3 4 1 1 4 3 1 4 FI
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1 2 (a) 1 2 (b) FIGURA 1.4 Los conj
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1.2 Eje y positivo Eje x negativo E
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y L 2 Pendiente m1 1 C 1 h L 1 Pend
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Incrementos y movimiento 37. Una pa
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96. La distancia entre un punto y u
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x -2 4 -1 1 0 0 1 1 3 2 y x 2 9 4
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TABLA 1.2 Datos del diapasón Tiemp
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1 y 3 2 1 y 2 1 1 2 3 1 2 0 1 2 y
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-4 -2 4 2 -2 -4 y y 2x2 3 7x 4 2
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1 0 1 y 1 y log 3 x y log 2 x y
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ƒsxd = x + 1 Modelos matemáticos
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EJERCICIOS 1.4 Reconocimiento de fu
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1.5 Combinación de funciones; tras
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1.5 Combinación de funciones; tras
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5 4 3 2 1 y dilatar comprimir y 3x
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EJERCICIOS 1.5 Sumas, restas, produ
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En los ejercicios 19-28 se establec
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2 Grados Radianes 45 45 90 1 30 1 2
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SE sen pos. TA tan pos. y TO todos
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Periodos de las funciones trigonom
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Transformaciones de las gráficas t
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1.7 Graficación con calculadoras y
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-12 podría producir un segmento de
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Biomasa 250 200 150 100 50 y 0 1 2
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T T T c. Superponga la gráfica de
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31. Comenzando con la identidad sen
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Capítulo 1 Ejercicios adicionales
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2.1 Capítulo 2 LÍMITES Y CONTINUI
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Desde el punto de vista geométrico
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x 0 (a) Función identidad k 0 y y
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20. Sea ƒsxd = s3 a. Haga una tabl
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Es fácil convencernos de que las p
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k k k y 0 x0 x0 x0 y k FIG
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¿A qué se debe que sea correcto s
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13. 14. Determinación algebraica d
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58. a. Sea P=1>2. Demuestre que nin
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2 y y 4 x 2 0 2 FIGURA 2.23 lím
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1 O y u 1 cos u Q ⎧ ⎪ ⎪ ⎪
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4 3 2 1 y 1 x y 1 0 1 1 2 3 4 FIGU
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2 1 y 5 0 5 10 1 2 y 5x2 8x 3 3x
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7. a. Grafique b. Encuentre y límx
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2.5 B y Límites infinitos y asínt
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B 0 y x 0 y f(x) x 0 d x 0 d FIG
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Asíntota vertical x 2 4 3 2 y 8 7
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2.5 Límites infinitos y asíntotas
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Creación de gráficas a partir de
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2 y y 4 x 2 2 0 2 FIGURA 2.52 Una
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0 y y 1 x FIGURA 2.56 La función
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0.4 0.3 0.2 0.1 2p p p 0 y 2p FIGUR
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3 2 1 0 y 1 2 3 4 FIGURA 2.61 La fu
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5. a. ¿ existe? b. ¿ existe? c.
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O P FIGURA 2.63 L es tangente al c
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0 y h y f(x) Q(x 0 h, f(x 0 h))
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Razones de cambio: derivada en un p
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No habiendo tangente vertical en x
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4. Suponga que f(x) y g(x) están d
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h (b) r 6 cm Volumen del líquido
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3.1 ENSAYO HISTÓRICO La derivada C
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Muchas veces es necesario conocer l
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Pendiente 0 A A' 10 5 B 4 unidades
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0 y y ⏐x⏐ y' -1 y' 1 y' no es
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1 0 y y U(x) FIGURA 3.7 La funció
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. Grafique la derivada de f. La gr
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EXPLORACIONES CON COMPUTADORA Use u
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tenemos EJEMPLO 9 Dos métodos para
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3.3 La derivada como razón de camb
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Distancia (pies) 800 700 s 3.3 La d
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t (segundos) t 0 t 1 t 2 t 3 s
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0 y (dólares) Pendiente costo marg
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EJERCICIOS 3.3 Sensibilidad al camb
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c. Grafique la rapidez del cuerpo p
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T 26. Drenado de un tanque El núme
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1 y 0 1 1 y' 0 1 y cos x x y'
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3.4 Derivadas de funciones trigonom
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En los ejercicios 37 y 38, determin
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La única falla en este razonamient
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sen n x significa ssen xd n , n Z -
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0 y t 1 (1, 1) Inicia en t 0 y x
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Encontrar d en términos de t 1. Ex
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EJERCICIOS 3.5 Cálculo de derivada
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Identifique la trayectoria de la pa
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112. (Continuación del ejercicio 1
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y y = 1 2 c-ƒsxd ; 2-3 a 3 x - C 3
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EJERCICIOS 3.6 Derivadas de potenci
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69. Normal que interseca ¿En qué
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Obser vador Globo d 0.14 rad/min d
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dy ? dt cuando y 6 pies dV dt 9
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y(t) y 0 14. Tránsito aéreo comer
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Automóvil Cámara 132' 33. Una cap
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Una aproximación lineal importante
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ferenciable de x. Con mayor precisi
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EJERCICIOS 3.8 Determinación de li
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Capítulo 3 Preguntas de repaso 1.
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66. a. Grafique la función b. ¿ f
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c. ¿Cómo se relaciona dS>dt con d
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. Encuentre los valores para b y c
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26. Regla de Leibniz para derivadas
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Daniel Bernou
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Mínimo absoluto No hay un valor me
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-2 -1 (-2, -32) 7 -32 y (1, 7) y 8
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(c) Una solución intermedia 12 mil
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Extremos absolutos en intervalos ce
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T T 70. Funciones sin valores extre
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y y x2 C C 2 2 1 0 -1 -2 C 1 C
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. Use el teorema de Rolle para prob
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Función decreciente y y x 2 Funci
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4.3 Funciones monótonas y el crite
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T Calculadora graficadora o computa
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y'' 0 -1 2 1 0 y y x 4 1 FIGURA 4
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4.4 Concavidad y trazado de curvas
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-1 1 Punto de inflexión donde x 3
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y c(x) x 3 6x 2 15x r(x) 9x 0 2
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T b. Grafique el volumen de una caj
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38. Dos masas cuelgan de igual núm
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Teoría y ejemplos 53. Una desigual
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Precaución Para aplicar la regla d
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Exprese las sumas de los ejercicios
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Cuando se satisface la definición,
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cambiaría, así como el signo del
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De acuerdo con el teorema del valor
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5.5 Las integrales indefinidas y la
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Regla de Leibniz En las aplicacione
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0 y a S x k1 xk FIGURA 6.3 Una plac
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y 0 45° x -3 29 x 2 x 3 x ⎛ ⎝
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R(x) -x 3 R(x) -x 3 (-2, 5) r(x
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EJERCICIOS 6.1 Áreas de secciones
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15. Alrededor del eje y. 16. Alrede
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58. Tanque auxiliar de gasolina Con
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6.2 Cálculo de volúmenes por medi
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6.2 Cálculo de volúmenes por medi
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12. y = 3> A22xB, y = 0, x = 1, x =
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0 y A P 0 P 1 P k-1 C B P n FIGUR
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-1 1 0 -1 y x cos 3 t y sen 3 t 0
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1 0 y ⎛x y ⎝2 2/3 , 0 x 2
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T EJERCICIOS 6.3 Longitudes de curv
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(a) 6.4 Momentos y centro de masa 4
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Densidad La densidad de la materia
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0 y x y c.m. x x Línea de equilib
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Cómo determinar el centro de masa
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y a 2 x 2 -a 0 a y (a) a c.m. -a
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punto que está a un tercio de la d
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0 y y f(x) a P Q x k1 x k FIGURA 6
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0 y A (0, 1) x y 1 B (1, 0) FIGUR
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1 8 0 - 1 8 y y x 3 NO ESTÁ A ESC
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d y c 0 y L(y) FIGURA 6.54 La regi
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Determinación de áreas de superfi
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c. Demuestre que el área de la sup
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Fuerza (lb) F 0 Sin comprimir 4 F x
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389 pies Cuarto de circunferencia d
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9. Ascensión del cable de un eleva
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28. Golf Una pelota de golf de 1.6
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y a y Superficie del fluido Placa v
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EJERCICIOS 6.7 En los ejercicios si
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a. Determine la fuerza del fluido c
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27. Determine el centroide de una p
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0 12. En los puntos de la circunfer
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7.1 Funciones inversas y sus deriva
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El proceso de pasar de f a f -1 pue
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y y f(x) b f(a) (a, b) 0 a x 7.1
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EJERCICIOS 7.1 Identificación grá
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Teoría y aplicaciones 45. Si f(x)
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TABLA 7.1 Valores comunes de ln x,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA John Napier (
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1 y 1 2 0 y 1 x 1 2 FIGURA 7.10 El
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EJEMPLO 5 L0 p>6 tan 2x dx = L0 Dif
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Diferenciación logarítmica En los
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Números trascendentes y funciones
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7.3 La función exponencial 489 El
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Utilizamos la condición inicial y(
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EJERCICIOS 7.3 7.3 La función expo
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. Demuestre, haciendo referencia a
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y 2 1 0 1 2 y 2 x y x y log 2x F
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Casi todos los alimentos son ácido
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1 49. 50. 5 L -u 2 du L0 -u du 22 5
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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Para el gas radón 222, t se mide e
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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a. Si t representa el tiempo, en a
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22. Una viga a temperatura desconoc
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(c) x 2 crece más rápido que ln x
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EJERCICIOS 7.6 1. ¿Cuáles de las
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Algoritmos y búsquedas 23. a. Supo
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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x 23>2 22>2 12 > -1>2 - 22>2 - 23>2
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x 23 1 23>3 - 23>3 -1 - 23 3 5 2 t
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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EJEMPLO 9 Uso de la fórmula d dx s
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(b) (c) EJEMPLO 12 Uso de la sustit
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Valores de funciones trigonométric
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126. La región que está entre la
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Integrales impropias Evalúe las in
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o ≠sxd L a x e b x 2p A x e 1>s12
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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FIGURA 9.4 La razón a la que sale
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-4 -4 -4 19. y¿ =x + y 20. y¿ =y
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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i I V R I e 0 L R L 2 R i (1 eRt
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EJERCICIOS 9.2 Ecuaciones lineales
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31. Constantes de tiempo Al número
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Después se calculan las aproximaci
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Carl Runge (1
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Exploración gráfica de ecuaciones
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2 y 1 2 0 -1 y' 0 y'' 0 y' 0 y''
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F r ky m F p mg y positiva y 0 F
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EJERCICIOS 9.4 Líneas de fase y cu
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9.5 9.5 Aplicaciones de ecuaciones
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6000 5000 P Población mundial (198
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M 100 50 0 P FIGURA 9.25 Un campo
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Trayectoria ortogonal FIGURA 9.28 U
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TABLA 9.8 Datos del patinaje de Kel
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T 34. Euler: En los ejercicios 35 y
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RESPUESTAS CAPÍTULO 1 Sección 1.1
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7. (a) No es una función de x, ya
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9. (a) ƒ(g(x)) (b) j(g(x)) (c) g(g
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7. cos x = -4>5, tan x = -3>4 9. 11
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37. 39. 41. (a) (b) m = 1059.14; é
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11. (a) ƒsxd = sx 2 - 9d>sx + 3d x
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35. 37. 4 y = x = x + 1 - 2 - 4 3 x
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Ejercicios adicionales y avanzados,
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(c) El cuerpo cambia de dirección
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55. (a) y = 2px - 2p, (b) 57. Punto
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121. 123. dS = prh0 2r 125. (a) 4%
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La función ƒsxd = x tiene un punt
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17. y 19. 21. y 23. Máx loc (0, 0)
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91. (b) de manera positiva si k 6 0
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87. y = 2x 89. 3>2 - 50 91. 93. (a)
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7. Todas ellas 9. b 11. 13. a k = 1
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Ejercicios prácticos, páginas 388
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Ejercicios de práctica, páginas 4
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13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.
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Capítulo 8: Respuestas R-39 ƒ ƒ
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Capítulo 8: Respuestas R-41 17. 19
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71. 1 2 Az2z2 + 1 + ln ƒ z + 2z 2
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3. 5. (b) (c) y¿ =y 3 - y = s y +
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Ejercicios prácticos, páginas 682
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I-2 Índice Calculadoras, graficaci
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I-4 Índice Desplazamiento, 172, 17
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I-6 Índice implícitamente, 205-20
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I-8 Índice Leyes de los exponentes
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I-10 Índice Problema de primer ord
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I-12 Índice en integrales múltipl
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Fórmulas para Grad, Div, Espiral y
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Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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