Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

4
3
2
1
0
y
y x 2 x
(1, 3)
1 2
y –x 4
FIGURA 3.11 La tangente a la curva
y = x + s2>xd
en (1, 3) del ejemplo 12.
La curva tiene una parte en el tercer
cuadrante que no se muestra aquí. En el
capítulo 4 veremos cómo graficar
funciones como ésta.
3
x
Demostración de la regla 7 Usaremos la regla del cociente para esta demostración. Si n
es un entero negativo, entonces n = –m, donde m es un entero positivo. En consecuencia,
x y
n = x-m = 1>xm d
dx sxnd = d
dx
EJEMPLO 12 Tangente a una curva
Encontrar una ecuación para la tangente a la curva
en el punto (1, 3) (figura 3.11).
Solución La pendiente de la curva es
dy
dx
La pendiente en x = 1 es
-m - 1
= -mx
= nx n - 1 .
dy
dx ` x = 1
La recta que pasa por (1, 3) con pendiente m = -1es
Regla del cociente con y y = xm u = 1
Ya que
Ya que -m = n
d d
= sxd + 2
dx dx a1 1 2
x b = 1 + 2 a- b = 1 - 2 x x
Ecuación punto-pendiente
Al resolver problemas de diferenciación, la elección de cuáles reglas usar puede hacer
la diferencia entre trabajar mucho o no. Veamos el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 13 Elección de la regla a usar
En lugar de usar la regla del cociente para encontrar la derivada de
expandimos el numerador y dividimos entre x 4 :
=
= 0 - mxm - 1
x 2m
y = sx - 1dsx2 - 2xd
x 4
a 1
x m b
x m # d
dx A1B - 1 # d
dx Axm B
sx m d 2
y = x + 2 x
= c1 - 2
x 2 d x = 1
y - 3 = s -1dsx - 1d
y = -x + 1 + 3
y = -x + 4.
y = sx - 1dsx2 - 2xd
x4 ,
= x3 - 3x 2 + 2x
x 4
3.2 Reglas de diferenciación 167
= 1 - 2 = -1.
m 7 0, d
dx sxm m - 1
d = mx
2 .
= x -1 - 3x -2 + 2x -3 .