Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

TABLA 1.5 Precio de
una estampilla postal
Año x Costo y
1968 0.06
1971 0.08
1974 0.10
1975 0.13
1977 0.15
1981 0.18
1981 0.20
1985 0.22
1987 0.25
1991 0.29
1995 0.32
1998 0.33
2002 0.37
radica en que muchas calculadoras graficadoras y software para graficación calculan
como e (En el capítulo 7 se estudiarán las funciones exponencial y logarítmica).
Y como la función logarítmica no está definida para valores negativos de x, los dispositivos
para graficación sólo pueden producir la parte derecha, donde x 7 0.
Para obtener la imagen completa, que muestre las dos partes, podemos graficar la
función
s1>3dln x .
Esta función es igual que excepto en (donde f no está definida, aunque
0 ). En la figura 1.83b se muestra la gráfica de f.
1>3 x = 0
= 0
x 1>3
ƒsxd = x
ƒ x ƒ # ƒ x ƒ 1>3 .
Modelado empírico: cómo reflejar la tendencia
de los datos recopilados
1.7 Graficación con calculadoras y computadoras 63
En el ejemplo 3 de la sección 1.4 verificamos la validez de la hipótesis de Kepler, según la
cual el periodo de la órbita planetaria es proporcional a la distancia media entre los planetas
y el Sol, elevada a la potencia 3/2. Cuando resulta imposible plantear la hipótesis de
una relación entre una variable dependiente y una variable independiente, podemos recopilar
datos y tratar de encontrar una curva que se “ajuste” a ellos de manera que se refleje
la tendencia del diagrama de dispersión. El procedimiento mediante el cual se trata de encontrar
una curva que se ajuste a los datos se conoce como análisis de regresión, y a la
curva resultante se le llama curva de regresión. Una calculadora graficadora o un software
para graficación realizan el análisis de regresión buscando una curva que minimice la suma
de los cuadrados de las distancias verticales entre los puntos determinados por los datos y
la curva. Este método de mínimos cuadrados se revisará en la sección de ejercicios 14.7.
Hay varios tipos útiles de curvas de regresión, tales como rectas, potencias, polinomios,
exponenciales, logarítmicas y curvas senoidales. Muchas calculadoras graficadoras
y programas para graficación por computadora incluyen funciones de análisis de regresión
para ajustar una variedad de curvas de regresión típicas. El ejemplo siguiente ilustra el uso
de la función de regresión lineal de una calculadora graficadora para ajustar los datos de la
tabla 1.5 a una ecuación lineal.
EJEMPLO 7 Ajustar una recta de regresión
Construya, a partir de los datos de la tabla 1.5, un modelo para determinar el precio de una
estampilla postal como función del tiempo. Después de verificar la “validez” del modelo,
utilícelo para predecir el precio que tendrá la estampilla en el 2010.
Solución Queremos construir un modelo para determinar el precio de una estampilla
postal desde 1968. Hubo dos aumentos en 1981: uno de tres centavos y luego otro de dos
centavos. Para poder comparar 1981 con los demás años en la lista, sumamos ambos incrementos
para un aumento total de cinco centavos, y obtenemos los datos de la tabla 1.6. En
la figura 1.84a se muestra el diagrama de dispersión resultante.
TABLA 1.6 Precio de una estampilla postal desde 1968
x 0 3 6 7 9 13 17 19 23 27 30 34
y 6 8 10 13 15 20 22 25 29 32 33 37
Como el diagrama de dispersión es bastante lineal, intentamos el uso de un modelo lineal.
Después de introducir los datos en una calculadora graficadora (o software para graficación)
y seleccionar la opción de regresión lineal, encontramos que la recta de regresión es
x 1>3