Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

(a)
6.4 Momentos y centro de masa 425
Cada masa m k ejerce una fuerza hacia abajo m kg (el peso de m k) igual a la magnitud de
la masa por la aceleración debida a la gravedad. Cada una de estas fuerzas tiende a hacer
girar el eje alrededor del origen, de la misma manera en que ocurre cuando se gira un
tiovivo. Este efecto, denominado torque, se mide multiplicando la fuerza m kg por la distancia,
con signo, x k del punto de aplicación de la fuerza al origen. Las masas a la izquierda
del origen ejercen un torque negativo (en contra del sentido de las manecillas del reloj).
Las masas a la derecha del origen ejercen un torque positivo (en el sentido de las manecillas
del reloj).
La suma de los torques determina la tendencia de un sistema a girar alrededor del origen.
Esta suma se denomina torque del sistema.
Torque del sistema = m1
El sistema quedará en equilibrio si y sólo si su torque es igual a cero.
Si factorizamos la g en la ecuación (1), veremos que el torque del sistema es
gx1 + m2 gx2 + m3 gx3
(b)
FIGURA 6.29 (a) El movimiento de esta llave de tuercas deslizándose sobre
un bloque de hielo parece errático, hasta que notamos que sólo está girando
alrededor de su centro de masa, mientras que el centro de masa se desliza en
línea recta. (b) Los planetas, asteroides y cometas de nuestro sistema solar giran
alrededor de su centro de masa colectivo. (Éste se encuentra dentro del Sol).
g # sm1 x1 + m2 x2 + m3 x3d
" ('''')''''*
una característica
del medio
Así, el torque es el producto de la aceleración gravitacional g, que es una característica del
medio en donde se encuentre el sistema y del número que es una
característica del sistema mismo, una constante que permanece igual sin importar en donde
se coloque el sistema.
El número sm1 se denomina momento del sistema con respecto
al origen y es la suma de los momentos m1x1, m2x2, m3x3 de las masas individuales.
x1 + m2 x2 + m3 x3d,
sm1 x1 + m2 x2 + m3 x3d,
M0 = Momento del sistema respecto al origen = a mk xk.
(Escribimos lo anterior con la notación sigma para permitir sumas con más términos).
Usualmente queremos conocer en dónde colocar el fulcro para que el sistema esté
equilibrado, esto es, nos interesa saber en qué punto colocar x para que la suma de los torques
sea igual a cero:
x1 0 x2 x
x3 m1 m2 m3 Punto especial
en donde se logra
el equilibrio
una característica
del sistema
x
(1)